Τι είναι f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx αν f (pi / 6) = 1?

Απάντηση:

(x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Εξήγηση:

Ξεκινάμε διαιρώντας το ολοκλήρωμα σε τρεις:

(x) dx + int sin (x) dx = # d int

(x) dx-cos (x) # dx-int

Θα ονομάσω το αριστερό ολοκληρωμένο Integral 1 και το δεξί Integral 2

Ενσωματωμένο 1

Εδώ χρειαζόμαστε την ενσωμάτωση με μέρη και ένα μικρό τέχνασμα. Ο τύπος για την ολοκλήρωση με μέρη είναι:

(x) f (x) g (x) dx = f (x) g (x)

Σε αυτή την περίπτωση, θα αφήσω # f (x) = e ^ x # και # g '(x) = cos (x) #. Αυτό το παίρνουμε

# f '(x) = e ^ x # και #g (x) = sin (x) #.

Αυτό καθιστά το ενιαίο μας:

(x) dx (x) dx (x)

Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε την ενσωμάτωση από τα μέρη ξανά, αλλά αυτή τη φορά με #g '(x) = sin (x) #:

(x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x)

(x) e ^ xcos (x) e ^ xcos (x) dx #

Τώρα μπορούμε να προσθέσουμε το ενιαίο και στις δύο πλευρές δίνοντας:

# Xint (x) = dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

(x) + e ^ xcos (x)) + C = #################################################################

# = e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Ενσωματωμένη 2

Μπορούμε πρώτα να χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα:

#tan (theta) = αμαρτία (theta) / cos (theta) #

Αυτό δίνει:

(x) dx = int sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x)) dx #

Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την πυθαγόρεια ταυτότητα:

# sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

(x) (x) (cos) = cos (x)

Τώρα μπορούμε να εισαγάγουμε u-αντικατάσταση με # u = cos (x) #. Στη συνέχεια διαιρούμε με το παράγωγο, # -ο (x) # να ενσωματώσει σε σχέση με # u #:

()) / (ακυρώστε (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du =

= 1 / u / 1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln cos (x) ΝΤΟ#

Ολοκλήρωση του αρχικού ολοκληρώματος

Τώρα που γνωρίζουμε το Integral 1 και το Integral 2, μπορούμε να τις συνδέσουμε πίσω στο αρχικό ολοκληρωμένο και να απλοποιήσουμε για να πάρουμε την τελική απάντηση:

(x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Τώρα που γνωρίζουμε το αντίθετο, μπορούμε να λύσουμε τη σταθερά:

# f (pi / 6) = 1 #

(pi / 6) / 2 (sin / pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / / 6) + C = 1 #

(3) / 2) + 2 = 3 / sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 +

(1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 /

Αυτό δίνει ότι η λειτουργία μας είναι:

(x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #