Πώς να ενσωματώσετε int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx με μερικά κλάσματα;

Απάντηση:

# 4in (abs (χ + 2)) + 2ηι (abs (χ + 1)) + (χ + 1)

Εξήγηση:

Έτσι, γράφουμε πρώτα αυτό:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / (χ + 2) (χ + 1) ^ 2) = Α / (χ + 2) + Β / 2 #

Με την προσθήκη λαμβάνουμε:

(X + 1) + (C) / (x + 1) + (x + 2) ^ 2 = (Α (χ + 1) ^ 2 + (χ + 2) (Β (χ + 1) + Ο)

(X + 1) + C) # 6x ^ 2 + 13x + 6 = Α (χ + 1) ^ 2 +

Χρησιμοποιώντας # x = -2 # μας δίνει:

(2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = Α (-1) ^ 2 #

# A = 4 #

(X + 1) + C) # 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (χ + 1) ^ 2 +

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας # x = -1 # μας δίνει:

# 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = C #

# C = -1 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (χ + 1) ^ 2 + (χ + 2) (Β (χ +

Τώρα χρησιμοποιώντας # x = 0 # (μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε τιμή που δεν έχει χρησιμοποιηθεί):

# 6 = 4 + 2 (Β-1) #

# 2 (Β-1) = 2 #

# Β-1 = 1 #

# Β = 2 #

(X + 1) -1 (x + 1) = 2 (x + 1)

(X + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) 2 #

# int4 / (x + 2) +2 / (χ + 1) -1 / (χ + 1) ^ 2dx = 4in (abs / (χ + 1) ^ 2dx #

Άφησα αυτό το ένα έξω, ώστε να μπορούμε να το δουλέψουμε ξεχωριστά.

Εχουμε # - (χ + 1) ^ - 2 #. Γνωρίζουμε ότι η χρήση του κανόνα της αλυσίδας μας δίνει (x) = n (x) = n (x) ^ (n-1) f '(x). Απλά το έχουμε # - (χ + 1) ^ - 2 #, Έτσι # f (x) # πρέπει να είναι # (x + 1) ^ - 1 #

# d / dx (x + 1) ^ - 1 = - (x + 1)

(x + 2) + 2n (abs (x + 1)) + (x + 1) + 2 (x + 1) ^ - 1 + C #