Ποιο είναι το σιωπηρό παράγωγο του 4 = (x + y) ^ 2;

Απάντηση:

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον λογισμό και να περάσετε μερικά λεπτά σε αυτό το πρόβλημα ή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την άλγεβρα και να περάσετε μερικά δευτερόλεπτα, αλλά ο καθένας θα πάρετε # dy / dx = -1 #.

Εξήγηση:

Ξεκινήστε λαμβάνοντας το παράγωγο σε σχέση με τις δύο πλευρές:

# d / dx (4) = d / dx (χ + γ) ^ 2 #

Αριστερά, έχουμε το παράγωγο μιας σταθεράς - η οποία είναι δίκαιη #0#. Αυτό διαλύει το πρόβλημα σε:

# 0 = d / dx (χ + γ) ^ 2 #

Για την αξιολόγηση # d / dx (χ + γ) ^ 2 #, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα ισχύος και τον κανόνα της αλυσίδας:

(x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) ^ (2-1)

Σημείωση: πολλαπλασιάζουμε με # (χ + γ) '# επειδή ο κανόνας της αλυσίδας μας λέει ότι πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το παράγωγο ολόκληρης της συνάρτησης (στην περίπτωση αυτή # (χ + γ) ^ 2 # από την εσωτερική λειτουργία (στην περίπτωση αυτή # (χ + γ) #).

# d / dx (χ + γ) ^ 2 = (χ + γ) '* 2 (χ +

Οσον αφορά # (χ + γ) '#, παρατηρήστε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του αθροίσματος για να το σπάσουμε # x '+ y' #. #Χ'# είναι απλά #1#, και επειδή δεν γνωρίζουμε πραγματικά τι # y # είναι, πρέπει να φύγουμε # y '# όπως και # dy / dx #:

# d / dx (χ + γ) ^ 2 = (1 + dy / dx) (2 (χ +

Τώρα που βρήκαμε το παράγωγο μας, το πρόβλημα είναι:

0 = (1 + dy / dx) (2 (χ + γ)) #

Κάνοντας κάποια άλγεβρα για απομόνωση # dy / dx #, βλέπουμε:

# 0 = (1 + dy / dx) (2χ + 2γ) #

# 0 = 2x + dy / dx2x + dy / dx2y + 2y #

# 0 = x + dy / dxx + dy / dxy + y #

# -x-y = dy / dxx + dy / dxy #

# -x-y = dy / dx (χ + γ) #

# dy / dx = (- χ-γ) / (χ + γ) #

Είναι ενδιαφέρον ότι αυτό ισοδυναμεί #-1# για όλα #Χ# και # y # (εκτός από το πότε # x = -y #). Επομένως, # dy / dx = -1 #. Θα μπορούσαμε πραγματικά να το καταλάβουμε χωρίς να χρησιμοποιήσουμε καθόλου λογισμό! Κοιτάξτε την εξίσωση # 4 = (χ + γ) ^ 2 #. Πάρτε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών για να πάρετε # + - 2 = χ + γ #. Τώρα αφαιρέστε #Χ# και από τις δύο πλευρές, και έχουμε # y = + - 2-x #. Θυμάστε αυτά από την άλγεβρα; Η κλίση αυτής της γραμμής είναι #-1#, και δεδομένου ότι το παράγωγο είναι η κλίση, θα μπορούσαμε να είπαμε ακριβώς # dy / dx = -1 # και απέφυγε όλα αυτά που δουλεύουν.

Ποιο είναι το σιωπηρό παράγωγο του 1 = x / y-e ^ (xy);

Dy / dx = (ye ^ (xy) y ^ 3) / (x-xe ^ (xy) y ^ 2) 1 = x / ye ^ (xy) = 2 + 3 μπορούμε να διαφοροποιήσουμε ξεχωριστά dy / dx = dy / dx2x + dy / dx3 rArrdy / dx = 2 + 0 Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να διαφοροποιήσουμε 1, x / y και e ^ dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) Κανόνας 1: dy / dxC rArr 0 παράγωγο μιας σταθεράς είναι 0 0 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (d) / dxv- (dv) / dxu) / v ^ 2 ή (vu'-uv ') / v ^ 2 u = x rArr u' = 1 κανόνας 2: y ^ n rArr (ny ^ (n-1) dy / dx) v = y rArr v '= dy / dx (vu' + uv ' / y ^ 2 = (1y-dy / dxx) / y ^ 2-dy / dxe ^ (xy) Τέλος πρέπει να διαφοροποιήσουμε e ^ (xy) χρησιμοποιώντας ένα μί

Ποιο είναι το σιωπηρό παράγωγο του 1 = x / y;

Dy / dx = y / x Από y = x, dy / dx = 1 Έχουμε f (x, y) = x / y = dx [1] y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = 0 Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας παίρνουμε: d / dx = d / dy * dy / ^ -1 + dy / dxxd / dx [y ^ -1] = 0 y ^ -1 + dy / dx-xy ^ -2 = 0 dy / dxxy ^ 1 / (xy ^ -2) = y ^ 2 / (xy) = y / x Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι y = x μπορούμε να πούμε ότι dy / dx = x / x = 1

Ποιο είναι το σιωπηρό παράγωγο του 1 = e ^ y-xcos (xy);

(dy) / dx = (cosoxy-xysinxy) / (e ^ y + x ^ 2 (sinxy)) 1 = e ^ y-xcos (xy) rArr (d1) / dx = d / dx (xy)) rArr0 = (de ^ y) / dx- (d (xcos (xy)) / dx rArr0 = (dy / dx) / dx) rArr0 = (dy / dx) e ^ y- (cosyxy + x (dxy) / dx (-sinxy) ) / dx) (-συνξύ))) rArr0 = (dy / dx) e ^ y- (cosxy + x (-syinxy-x (dy) / dx - (cosyxy-xysinxy-x ^ 2 (dy) / dx (sinxy)) rArr0 = (dy / dx) e ^ ysysyxy + xysinxy + x ^ 2dy / dx (dy) / xx2 (dy) / dx (sinxy) -cosxy + xysinxy rArr0 = (dy / dx) dx) (e ^ y + χ ^ 2 (sinxy)) rArr (dy) / dx = (cosoxy-xysinxy)