Πώς να επαληθεύσουμε ((csc ^ (3) x-cscxcot ^ (2) x)) / (cscx) = 1?

Η στρατηγική που χρησιμοποίησα είναι να γράψω τα πάντα από την άποψη της #αμαρτία# και # cos # χρησιμοποιώντας αυτές τις ταυτότητες:

#color (λευκό) => cscx = 1 / sinx #

#color (λευκό) => cotx = cosx / sinx #

Χρησιμοποίησα επίσης μια τροποποιημένη έκδοση της ταυτότητας του Πυθαγορείου:

#color (λευκό) => cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

# => sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Τώρα, εδώ είναι το πραγματικό πρόβλημα:

# (csc ^ 3x-cscxcot ^ 2x) / (cscx) #

# ((cscx) ^ 3-cscx (cotx) ^ 2) / (1 / sinx) #

# (1 / sinx) ^ 3-1 / sinx * (cosx / sinx) ^ 2) / (1 / sinx)

# (1 / sin ^ 3x-1 / sinx * cos ^ 2x / sin ^ 2x) / (1 / sinx)

# (1 / sin ^ 3x-cos ^ 2x / sin ^ 3x) / (1 / sinx) #

# ((1-cos ^ 2x) / sin ^ 3x) / (1 / sinx) #

# (sin ^ 2x / sin ^ 3x) / (1 / sinx) #

# (1 / sinx) / (1 / sinx) #

# 1 / sinx * sinx / 1 #

#1#

Ελπίζω ότι αυτό βοηθά!

Απάντηση:

Παρακαλούμε δείτε παρακάτω.

Εξήγηση:

# LHS = (csc ^ 3x-cscx * κούνια ^ 2χ) / cscx #

# = csc ^ 3x / cscx- (cscx * κούνια ^ 2χ) / cscx #

# = csc ^ 2x κούνια ^ 2x #

# = 1 / sin ^ 2x-cos ^ 2x / sin ^ 2x #

# = (1-cos ^ 2x) / sin ^ 2x #

# = sin ^ 2x / sin ^ 2x = 1 = RHS #