Τι είναι το θεώρημα του DeMoivre; + Παράδειγμα

Το Θεώρημα του DeMoivre επεκτείνεται στην φόρμουλα του Euler:

# e ^ (ix) = cosx + isinx #

Το Θεώρημα του DeMoivre λέει ότι:

• # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (ixx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #

Παράδειγμα:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #

Ωστόσο, # i ^ 2 = -1 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #

Επίλυση για πραγματικά και φανταστικά μέρη του #Χ#:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

Συγκρίνοντας με #cos (2x) + isin (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Αυτές είναι οι τύποι διπλής γωνίας για # cos # και #αμαρτία#

Αυτό μας επιτρέπει να επεκτείνουμε #cos (nx) # ή #sin (nx) # όσον αφορά τις εξουσίες του # sinx # και # cosx #

Το θεώρημα του DeMoivre μπορεί να ληφθεί περαιτέρω:

Δεδομένος # z = cosx + isinx #

# z ^ n = cos (nx) + isin (ηχ) #

= cos (nx) + isin (ηχ)) # ()

= cos (nx) -isin (nx)) xx (cos (nx) -isin (nx)) / cos (nx)) -isin (ηχ)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx)

# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# z ^ n-z ^ (- η) = 2ίδ (ηχ) #

Έτσι, αν θέλατε να εκφράσετε # sin ^ nx # από άποψη πολλαπλών γωνιών # sinx # και # cosx #:

# (2isinx) ^ η = (z-1 / z) ^ n #

Επεκτείνετε και απλά, στη συνέχεια, εισάγετε τις τιμές για # z ^ n + z ^ (- n) # και # z ^ n-z ^ (- η) # όπου είναι αναγκαίο.

Ωστόσο, αν συνέβη # cos ^ nx #, τότε θα το κάνατε # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # και ακολουθήστε τα παρόμοια βήματα.