Λύστε ευγενικά αυτό; ποια επιλογή είναι σωστή;

Αυτό εύκολα θεωρείται ότι δεν είναι εφικτό με στοιχειώδη μέσα, γι 'αυτό το έχω λύσει αριθμητικά και πήρα:

Αξιολόγησα το ολοκλήρωμα για το # n = 1, 1,5, 2,…, 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Μέχρι τότε φάνηκε σαφώς #0.5#.

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

(n-1) dx = 1 # (n-1) dx = 1 #

(n-1) dx = 1/2 # dx = 1/2 #

ή

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Υποθέτοντας τώρα ότι μία από τις απαντήσεις είναι αληθινή, το πιο φυσικό φαίνεται να είναι το τέταρτο 4)

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Για # x σε 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + χ ^ 2) 1 #

Απάντηση:

#1/2#

Εξήγηση:

Όπως έχει ήδη αποδειχθεί σε μια προηγούμενη λύση, (1 + x ^ 2) dx # (n + 1)

υπάρχει και περιορίζεται:

# 1/2 le I_n <1 #

Τώρα η ολοκλήρωση από τα εξαρτήματα αποδίδει

= 1 (x) = (1) (x + 2) x (x)) dx #

(1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

# qquad = 1/2 + J_n #

Τώρα, από τότε # 0 <(1 + χ ^ 2) ^ - 1 <1 # σε #(0,1)#

(N + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

(n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2)) #

Από #lim_ (n έως oo) I_n # υπάρχει, έχουμε

(n to oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) times lim_ (n to oo) (η + 2) = 0 #

Ως εκ τούτου

# lim_ (n σε oo) I_n = 1/2 #