Η ακτίνα ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένη σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι 2. Ποια είναι η περίμετρος του τριγώνου;

Απάντηση:

Η περίμετρος ισούται με # 12sqrt (3) #

Εξήγηση:

Υπάρχουν πολλοί τρόποι αντιμετώπισης αυτού του προβλήματος.

Εδώ είναι ένα από αυτά.

Το κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο βρίσκεται στη διατομή των διχοτόπων των γωνιών του. Για το ισόπλευρο τρίγωνο αυτό είναι το ίδιο σημείο όπου τέμνονται τα υψόμετρα και οι διάμεσοί του.

Οποιοσδήποτε διάμεσος διαιρείται με ένα σημείο τομής με άλλους διάμεσους ανάλογα #1:2#. Επομένως, οι διδιάστατοι, υψομετρικοί και γωνιακοί βραχίονες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσοι με

#2+2+2 = 6#

Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρούμε μια πλευρά αυτού του τριγώνου αν γνωρίζουμε το υψόμετρο / διάμεσο / γωνιακό διχοτόμο.

Εάν υπάρχει μια πλευρά #Χ#, από το Πυθαγόρειο θεώρημα

# x ^ 2 - (χ / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Από αυτό:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

# x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Η περίμετρος ισούται με τρεις τέτοιες πλευρές:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Απάντηση:

Η περίμετρος ισούται με # 12sqrt (3) #

Εξήγηση:

Η εναλλακτική μέθοδος είναι παρακάτω.

Ας υποθέσουμε ότι το ισόπλευρο τρίγωνό μας είναι #Delta ABC # και είναι το κέντρο ενός εγγεγραμμένου κύκλου # O #.

Σχεδιάστε ένα διάκενο διάκενου / υψομέτρου από την κορυφή #ΕΝΑ# μέσω του σημείου # O # μέχρι να διασταυρωθεί πλευρικά #ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ# στο σημείο # M #. Προφανώς, # OM = 2 #.

Εξετάστε το τρίγωνο #Delta OBM #.

Του σωστά Από #OM_ | _BM #.

Γωνία # / _ OBM = 30 ^ o # Από # BO # είναι μια διχοτόμηση γωνίας του #/_ΑΛΦΑΒΗΤΟ#.

Πλευρά # BM # είναι το ήμισυ της πλευράς #ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ# Από #ΕΙΜΑΙ# είναι διάμεσος.

Τώρα μπορούμε να βρούμε # OB # ως υποτείνουσα σε ορθό τρίγωνο με μία οξεία γωνία ίση με # 30 ^ o # και ο αντίθετος κάθας είναι ίσος με #2#. Αυτή η υποτείνουσα είναι διπλάσια από αυτή του καθέτου, δηλαδή #4#.

Έχει υποτείνουσα # OB # και ο κώστας # OM #, βρείτε έναν άλλο γατόψαρο # BM # από το Πυθαγόρειο Θεώρημα:

# ΒΜ ^ 2 = ΟΒ ^ 2 - ΟΜ ^ 2 = 16-4 = 12 #

Επομένως,

# ΒΜ = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * ΒΜ = 4sqrt (3) #

Περίμετρο είναι

# 3 * BC = 12sqrt (3) #