Τρεις ράβδοι κάθε μάζας Μ και μήκος L, ενώνονται μεταξύ τους για να σχηματίσουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Ποια είναι η στιγμή της αδράνειας ενός συστήματος για έναν Άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και κάθετα στο επίπεδο του τριγώνου;

Απάντηση:

# 1/2 ML ^ 2 #

Εξήγηση:

Η στιγμή αδράνειας μιας μίας ράβδου γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και κάθετα σε αυτήν είναι

# 1/12 ML ^ 2 #

Αυτό της κάθε πλευράς του ισόπλευρου τριγώνου γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο του τριγώνου και κάθετα στο επίπεδο του είναι

# 1 / 12ML ^ 2 + Μ (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(από το θεώρημα του παράλληλου άξονα).

Η στιγμή της αδράνειας του τριγώνου γύρω από αυτόν τον άξονα είναι τότε

# 3 φορές 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Υποθέτοντας ότι οι ράβδοι είναι λεπτές, η θέση του κέντρου μάζας κάθε ράβδου βρίσκεται στο κέντρο της ράβδου. Καθώς οι ράβδοι σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο, το κέντρο της μάζας του συστήματος θα βρίσκεται στο κέντρο του τριγώνου.

Αφήνω #ρε# να είναι απόσταση κεντροειδούς από οποιαδήποτε πλευρά.

# d / (L / 2) = tan30 #

# => d = L / 2tan30 #

# => d = L / (2sqrt3) # …..(1)

Στιγμή αδράνειας μιας μίας ράβδου γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κεντροειδές κάθετο προς το επίπεδο του τριγώνου με τη χρήση του ρυθμού του παράλληλου άξονα είναι

#I_ "ράβδος" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Υπάρχουν τρεις παρόμοια τοποθετημένες ράβδοι, επομένως η συνολική ροπή αδράνειας των τριών ράβδων θα ήταν

# Ι_ "σύστημα" = 3 (I "cm" + Md ^ 2) #

# => Ι_ "σύστημα" = 3Ι "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Ο δεύτερος όρος που χρησιμοποιεί (1) είναι

# 3Md ^ 2 = 3Μ (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Ως ροπή αδράνειας μιας ράβδου γύρω από το κέντρο της μάζας είναι

# Ι_ "cm" = 1 / 12ML ^ 2 #

Ο πρώτος όρος στο (2) γίνεται

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

Χρησιμοποιώντας (3) και (4), η εξίσωση (2) γίνεται

#I_ "σύστημα" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #

Τρεις κύκλοι μονάδων ακτίνας r τραβιούνται μέσα σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευρικής μονάδας έτσι ώστε κάθε κύκλος να αγγίζει τους άλλους δύο κύκλους και τις δύο πλευρές του τριγώνου. Ποια είναι η σχέση μεταξύ r και a;

R / a = 1 / (2 (sqrt (3) +1) Γνωρίζουμε ότι a = 2x + 2r με r / x = tan (30 ^) x είναι η απόσταση μεταξύ του αριστερού κατακόρυφου πυθμένα και του κάθετου ποδιού προβολής το αριστερό κέντρο του πυθμένα του πυθμένα, επειδή αν η γωνία ενός ισόπλευρου τριγώνου έχει 60 ^, τότε ο διχοτόμος έχει 30 ^ και τότε a = 2r (1 / tan (30 ^ @) + 1) έτσι r / a = 1 / (3) +1)

Μια ομοιόμορφη ράβδος μάζας m και το μήκος l περιστρέφεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο με ένα γωνιακό ωμέγα ταχύτητας γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο. Η ένταση στη ράβδο σε απόσταση x από τον άξονα είναι;

Λαμβάνοντας υπόψη μια μικρή μερίδα dr στη ράβδο σε απόσταση r από τον άξονα της ράβδου. Έτσι, η μάζα αυτού του τμήματος θα είναι dm = m / l dr (όπως αναφέρεται η ομοιόμορφη ράβδος) Τώρα, η ένταση στο τμήμα αυτό θα είναι η φυγόκεντρη δύναμη που ενεργεί επάνω σε αυτήν, δηλαδή dT = -dm omega ^ 2r μακριά από το κέντρο, ενώ το r υπολογίζεται προς το κέντρο, αν το λύσετε λαμβάνοντας υπόψη την κεντρική δύναμη, τότε η δύναμη θα είναι θετική, αλλά το όριο θα μετρηθεί από το r στο l) Ή, dT = -m / l dr omega ^ 2r Οπότε, int = 0 ^ ttT = -m / l ωμέγα ^ 2 int_l ^ xrdr (όπως, στο r = 1, T = 0) 2) = (momega ^ 2) / (21) (1 ^ 2-χ ^ 2)

Οι Marisol και Mimi περπατούσαν την ίδια απόσταση από το σχολείο τους σε ένα εμπορικό κέντρο. Το Marisol περπάτησε 2 μίλια την ώρα, ενώ η Mimi έφυγε 1 ώρα αργότερα και περπάτησε 3 μίλια την ώρα. Αν φτάσουν στο εμπορικό κέντρο την ίδια στιγμή, πόσο μακριά από το εμπορικό κέντρο είναι το σχολείο τους;

6 μίλια. d = t xx 2 mph d = (t -1) xx 3 mph Η απόσταση από το εμπορικό κέντρο είναι η ίδια έτσι οι δύο φορές μπορούν να ρυθμιστούν ίσες μεταξύ τους. t xx 2mph = t-1 xx 3 mph 2t = 3t - 3 Αφαιρέστε 2t και προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης 2t- 2t +3 = 3t -2t - 3 + 3 Αυτό δίνει: 3 = t ο χρόνος ισούται με τρεις ώρες . d = 3 ώρες xx 2 mph d = 6 μίλια.