Δύο γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι στα (1, 3) και (9, 4). Εάν η περιοχή του τριγώνου είναι 64, ποια είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου;

Απάντηση:

Τα μήκη των πλευρών του τριγώνου είναι:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Εξήγηση:

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων # (x_1, y_1) # και # (x_2, y_2) # δίνεται από τον τύπο απόστασης:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Έτσι, η απόσταση μεταξύ # (x_1, y_1) = (1, 3) # και # (x_2, y_2) = (9, 4) # είναι:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65)

που είναι ένας παράλογος αριθμός λίγο μεγαλύτερος από #8#.

Εάν μία από τις άλλες πλευρές του τριγώνου είχε το ίδιο μήκος, τότε η μέγιστη δυνατή περιοχή του τριγώνου θα ήταν:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Επομένως, αυτό δεν συμβαίνει. Αντ 'αυτού, οι άλλες δύο πλευρές πρέπει να έχουν το ίδιο μήκος.

Λαμβάνοντας ένα τρίγωνο με πλευρές # a = sqrt (65), b = t, c = t #, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Heron για να βρούμε την περιοχή του.

Ο τύπος ερωδιού μας λέει ότι η περιοχή ενός τριγώνου με πλευρές # a, b, c # και ημι περιμετρική #s = 1/2 (α + β + γ) # δίνεται από:

# Α = sqrt (s-a) (s-b) (s-c)) #

Στην περίπτωσή μας η ημιπεριμετρική είναι:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

και ο τύπος του Heron μας λέει ότι:

(65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) # 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65)

#color (λευκό) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Πολλαπλασιάστε και τα δύο άκρα με #2# να πάρω:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Τετράγωνο και οι δύο πλευρές για να πάρετε:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές #4/65# να πάρω:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Μεταφέρετε και προσθέστε #65/4# και στις δύο πλευρές για να πάρετε:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Πάρτε τη θετική τετραγωνική ρίζα των δύο πλευρών για να πάρετε:

#t = sqrt (266369/260) #

Έτσι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου είναι:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Εναλλακτική μέθοδος

Αντί να χρησιμοποιήσουμε τη φόρμουλα του Heron, μπορούμε να αιτιολογήσουμε τα εξής:

Δεδομένου ότι η βάση του ισοσκελούς τριγώνου έχει μήκος:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Η περιοχή είναι # 64 = 1/2 "βάση" xx "ύψος" #

Έτσι το ύψος του τριγώνου είναι:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Αυτό είναι το μήκος της κάθετης διχοτόμησης του τριγώνου, που διέρχεται από το μέσο της βάσης.

Έτσι οι άλλες δύο πλευρές σχηματίζουν τις υποτάσεις δύο ορθογωνίων τριγώνων με τα πόδια #sqrt (65) / 2 # και # (128sqrt (65)) / 65 #

Έτσι, από τον Πυθαγόρα, κάθε μία από αυτές τις πλευρές έχει μήκος:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65)