Πώς βρίσκετε το αντί-παράγωγο του (e ^ x) / (1 + e ^ (2x));

Απάντηση:

#arctan (e ^ x) + C #

Εξήγηση:

# "γράψτε" e ^ x "dx ως" d (e ^ x) ", τότε λαμβάνουμε" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "με την υποκατάσταση y =" e ^ x ", παίρνουμε" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "το οποίο ισούται με" #

#arctan (γ) + C #

# "Τώρα αντικαταστήστε την πλάτη" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Απάντηση:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2χ)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Εξήγηση:

Θέλουμε να βρούμε (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2)

Τώρα αφήστε # u = e ^ x # και παίρνοντας έτσι το διαφορικό στις δύο πλευρές δίνει # du = e ^ xdx #. Τώρα αντικαθιστούμε και τις δύο αυτές εξισώσεις στο ολοκληρωμένο για να πάρουμε

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Πρόκειται για ένα πρότυπο ολοκληρωμένο το οποίο αξιολογεί # arctanu #. Αντικατάσταση πίσω για #Χ# έχουμε μια τελική απάντηση:

#arctan e ^ x + "c" #

Απάντηση:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2χ)) dx = tan ^ -1 (e ^ x)

Εξήγηση:

Πρώτα, αφήσαμε # u = 1 + e ^ (2χ) #. Να ενσωματωθεί σε σχέση με # u #, διαιρούμε με το παράγωγο του # u #, το οποίο είναι # 2e ^ (2χ) #:

(d) = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Να ενσωματωθεί σε σχέση με # u #, χρειαζόμαστε ό, τι εκφράζεται με όρους # u #, οπότε πρέπει να λύσουμε κάτι # e ^ x # είναι από άποψη # u #:

# u = 1 + e ^ (2χ) #

# e ^ (2χ) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2in (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1)

Τώρα μπορούμε να το συνδέσουμε πίσω στο ενιαίο:

= 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1)

Στη συνέχεια θα εισαγάγουμε μια αντικατάσταση με # z = sqrt (u-1) #. Το παράγωγο είναι:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (υ-1) #

έτσι χωρίζουμε από αυτό να ενσωματώσουμε σε σχέση με # z # (θυμηθείτε ότι η διαίρεση είναι η ίδια με την πολλαπλασιασμό από την αμοιβαιότητα):

(U-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1)

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Τώρα, έχουμε και πάλι την λάθος μεταβλητή, οπότε πρέπει να λύσουμε κάτι # u # είναι ίση με την # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

Αυτό δίνει:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Αυτό είναι το κοινό παράγωγο του # tan ^ -1 (z) #, έτσι παίρνουμε:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Αναίρεση όλων των αντικαταστάσεων, παίρνουμε:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ 1 (sqrt (u-1)) + C =

(= 2)) + = C = # (= 1)

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #