Τα σημεία περιστροφής (τοπικά ακραία) συμβαίνουν όταν το παράγωγο της συνάρτησης είναι μηδέν, δηλαδή πότε
αυτό είναι πότε
από το δεύτερο παράγωγο
Οι αντίστοιχες τιμές y μπορούν να βρεθούν αντικαθιστώντας πίσω στην αρχική εξίσωση.
Το γράφημα της λειτουργίας επιβεβαιώνει τους παραπάνω υπολογισμούς.
διάγραμμα {x ^ 3-7x -16.01, 16.02, -8.01, 8}
Ποια είναι τα τοπικά άκρα, εάν υπάρχουν, του f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x;
F (x) = 2in (x ^ 2 + 3) -x έχει ένα τοπικό ελάχιστο για x = 1 και ένα τοπικό μέγιστο για x = 3 Έχουμε: f (x) (x) = ((4x) / (x ^ 2 + 3)), η συνάρτηση ορίζεται σε όλα τα RR ως x ^ 2 + 3> 0 AA x. 1 = - (χ ^ 2-4χ + 3) / (χ ^ 2 + 3) - (χ ^ 2-4χ + 3) / (χ ^ 2 + 3) = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 έτσι τα κρίσιμα σημεία είναι: x_1 = 1 και x_2 = 3 Δεδομένου ότι ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός, το σημείο του f '(x) ο αριθμητής (x ^ 2-4x + 3) Τώρα γνωρίζουμε ότι ένα πολυώνυμο δεύτερης τάξης με θετικό κύριο συντελεστή είναι θετικό έξω από το διάστημα που περιλαμβάνεται μεταξύ των ριζών και αρνητικό στο διάστημα μεταξύ των ριζών,
Ποια είναι τα τοπικά άκρα, εάν υπάρχουν, του f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3;
Το τοπικό μέγιστο των 80 (σε x = -1) και το τοπικό ελάχιστο των -80 (σε x = 1 .f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3f '(x) = 600x ^ 4-600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2-1) Οι κρίσιμοι αριθμοί είναι: -1, 0 και 1 Το σημάδι του f 'αλλάζει από + σε - καθώς περνάμε x = -1, έτσι f (-1) = 80 είναι τοπικό μέγιστο . Από το f είναι περίεργο, μπορούμε αμέσως να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι το f (1) = - 80 είναι ένα σχετικό ελάχιστο και το f (0) δεν είναι ένα τοπικό άκρο.) Το σύμβολο του f 'δεν αλλάζει καθώς περάσαμε x = 0, οπότε το f (0) δεν είναι ένα τοπικό άκρο. Το σημάδι του f 'αλλάζει από - σε + καθώς περνάμε x = 1, έτσι f (1) =
Η πυκνότητα του πυρήνα ενός πλανήτη είναι rho_1 και εκείνη του εξωτερικού κελύφους είναι rho_2. Η ακτίνα του πυρήνα είναι R και αυτή του πλανήτη είναι 2R. Το βαρυτικό πεδίο στην εξωτερική επιφάνεια του πλανήτη είναι ίδιο με την επιφάνεια του πυρήνα ποια είναι η αναλογία rho / rho_2. ;
3 Υποθέστε ότι η μάζα του πυρήνα του πλανήτη είναι m και αυτή του εξωτερικού κελύφους είναι m 'Έτσι, το πεδίο στην επιφάνεια του πυρήνα είναι (Gm) / R ^ 2 Και στην επιφάνεια του κελύφους θα είναι (G (m + m)) / (2R) ^ 2 Δεδομένου ότι και τα δύο είναι ίσα, έτσι (Gm) / R ^ = = m 'ή m' = 3m Τώρα, m = 4/3 pi R ^ 3 rho_1 (μάζα = όγκος * πυκνότητα) και m '= 4/3 π ((2R) / 3 pi 7R ^ 3 rho_2 Συνεπώς, 3m = 3 (4/3 pi R ^ 3 rho_1) = m '= 4/3 pi 7R ^ 3 rho_2 Έτσι rho_1 = 7/3 rho_2 ή (rho_1) / rho_2 ) = 7/3