Ποια είναι η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0;

# "Χαρακτηριστική εξίσωση είναι:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "δίσκος του quad eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "έτσι έχουμε δύο πολύπλοκες λύσεις, είναι" #

# z = (1 μμ sqrt (15) i) / 2 #

# "Έτσι η γενική λύση της ομοιογενούς εξίσωσης είναι:" #

(X / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

(15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Η συγκεκριμένη λύση για την πλήρη εξίσωση είναι" #

# "y = x," #

# "Αυτό είναι εύκολο να δούμε." #

# "Έτσι, η ολοκληρωμένη λύση είναι:" #

(15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Απάντηση:

(15) / 2x) + x # (y / y)

Εξήγηση:

Εχουμε:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Ή, Εναλλακτικά:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. ΕΝΑ

Αυτό είναι ένα τρίτος σειρά γραμμική μη ομοιογενής εξίσωση διαφοροποίησης με σταθερούς συντελεστές. Η τυπική προσέγγιση είναι να βρεθεί μια λύση, # y_c # της ομοιογενούς εξίσωσης εξετάζοντας την βοηθητική εξίσωση, η οποία είναι η πολυωνυμική εξίσωση με τους συντελεστές των παραγώγων, και στη συνέχεια βρίσκοντας μια ανεξάρτητη συγκεκριμένη λύση, # y_p # της μη ομοιογενούς εξίσωσης.

Οι ρίζες της βοηθητικής εξίσωσης καθορίζουν τμήματα της λύσης, τα οποία αν είναι γραμμικά ανεξάρτητα τότε η υπέρθεση των διαλυμάτων αποτελεί την πλήρη γενική λύση.

• Πραγματικές διακριτές ρίζες # m = άλφα, βήτα, … # θα παράγει γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής # y_1 = Ae ^ (αλφαξ) #, # y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Πραγματικές επαναλαμβανόμενες ρίζες # m = άλφα #, θα δώσει μια λύση της μορφής # y = (Ax + Β) e ^ (αλφαξ) # όπου το πολυώνυμο έχει τον ίδιο βαθμό με την επανάληψη.
• Σύνθετες ρίζες (οι οποίες πρέπει να εμφανίζονται ως συζευγμένα ζεύγη) # m = p + -qi # θα παράγει ζεύγη γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής # y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Ιδιαίτερη λύση

Προκειμένου να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση της μη ομοιογενούς εξίσωσης:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # με # f (x) = 4 # ….. C

τότε ως # f (x) # είναι ένα πολυώνυμο βαθμού #0#, θα αναζητούσαμε ένα πολυωνυμικό διάλυμα του ίδιου βαθμού, δηλ. της μορφής # y = a #

Ωστόσο, μια τέτοια λύση υπάρχει ήδη στην λύση ΚΙ και έτσι πρέπει να εξεταστεί μια πιθανή λύση της μορφής # y = ax #, Όπου οι σταθερές #ένα# πρέπει να προσδιορίζεται με άμεση υποκατάσταση και σύγκριση:

Διαφοροποίηση # y = ax # wrt #Χ# παίρνουμε:

# y '= α #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Αντικαθιστώντας αυτά τα αποτελέσματα στην DE Α παίρνουμε:

# 0-0 + 4α = 4 => α = 1 #

Και έτσι διαμορφώνουμε τη συγκεκριμένη λύση:

# y_p = x #

Γενική λύση

Το οποίο στη συνέχεια οδηγεί στην GS του A}

# γ (x) = y_c + y_p #

(15) / 2x) + x # (/ = A + e ^

Σημειώστε ότι αυτή η λύση έχει #3# σταθερές ολοκλήρωσης και #3# γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις, ως εκ τούτου από το Θεώρημα της Ύπαρξης και της Μοναδικότητας η υπέρθεση τους είναι η Γενική Λύση