Ποιες είναι οι τιμές του r (με r> 0) για τις οποίες η σειρά συγκλίνει;

Απάντηση:

# r <1 / e # είναι η προϋπόθεση για τη σύγκλιση του #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Εξήγηση:

Θα απαντήσω μόνο στο μέρος σχετικά με τη σύγκλιση, ενώ το πρώτο μέρος έχει απαντηθεί στα σχόλια. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε # r ^ ln (n) = n ^ ln (r) # για να ξαναγράψουμε το ποσό #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # με τη μορφή

(n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for}

Η σειρά στα δεξιά είναι η μορφή της σειράς για την περίφημη λειτουργία του Riemann Zeta. Είναι γνωστό ότι η σειρά αυτή συγκλίνει πότε #p> 1 #. Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα δίνει άμεσα

# -in (r)> 1 υποδηλώνει ότι το ln (r) <- 1 υποδηλώνει r <e ^ -1 = 1 / e #

Το αποτέλεσμα για τις λειτουργίες του Riemann Zeta είναι πολύ γνωστό, αν θέλετε ένα ab initio απάντηση, μπορείτε να δοκιμάσετε το ολοκληρωμένο τεστ σύγκλισης.