Η περίμετρος ενός τραπεζοειδούς είναι 42 cm. η πλάγια πλευρά είναι 10cm και η διαφορά μεταξύ των βάσεων είναι 6 cm. Υπολογίστε: α) Η περιοχή β) Ο όγκος που λαμβάνεται περιστρέφοντας το τραπεζοειδές γύρω από την κύρια βάση;

Ας εξετάσουμε ένα ισοσκελές τραπεζοειδές #Α Β Γ Δ# που αντιπροσωπεύει την κατάσταση του συγκεκριμένου προβλήματος.

Η κύρια βάση της # CD = xcm #, δευτερεύουσα βάση # AB = ycm #, οι πλάγιες πλευρές είναι # AD = BC = 10cm #

Δεδομένος # x-y = 6cm ….. 1 #

και περίμετρο # χ + γ + 20 = 42εκ #

# => χ + γ = 22cm ….. 2 #

Προσθέτοντας 1 και 2 παίρνουμε

# 2χ = 28 => χ = 14 cm #

Έτσι # y = 8cm #

Τώρα # CD = DF = k = 1/2 (χ-γ) = 1/2 (14-8) = 3cm #

Εξ ου και το ύψος # h = sqrt (10 ^ 2-k ^ 2) = sqrt91cm #

Έτσι περιοχή τραπεζοειδούς

# A = 1/2 (x + y) xxh = 1 / 2xx (14 + 8) xxsqrt91 = 11sqrt91cm ^ 2 #

Είναι προφανές ότι κατά την περιστροφή γύρω από την κύρια βάση θα σχηματιστεί ένα στερεό που αποτελείται από δύο παρόμοιους κώνους σε δύο πλευρές και έναν κύλινδρο στη μέση όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα.

Έτσι ο συνολικός όγκος του στερεού

# = 2xx "όγκος κώνου" + "όγκος κυλίνδρου" #

# = 2xx1 / 3pi (sqrt91) ^ 2xx3 + pixx (sqrt91) ^ 2xx8 cm ^ 3 #

# = 910picm ^ 3 #