Πώς μπορώ να απλοποιήσω (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx;

Απάντηση:

# cos ^ 5x #

Εξήγηση:

Αυτός ο τύπος προβλήματος δεν είναι πραγματικά τόσο κακός όταν αναγνωρίσετε ότι περιλαμβάνει μια μικρή άλγεβρα!

Κατ 'αρχάς, θα ξαναγράψω τη συγκεκριμένη έκφραση για να καταστήσω ευκολότερα κατανοητά τα παρακάτω βήματα. Ξέρουμε ότι # sin ^ 2x # είναι απλά ένας απλούστερος τρόπος για να γράψετε # (sin x) ^ 2 #. Ομοίως, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Τώρα μπορούμε να ξαναγράψουμε την αρχική έκφραση.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

= ((sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Τώρα, εδώ είναι το μέρος που αφορά την άλγεβρα. Αφήνω #sin x = α #. Μπορούμε να γράψουμε # (sin x) ^ 4-2 (sin x) ^ 2 + 1 # όπως και

# a ^ 4 - 2 α ^ 2 + 1 #

Μήπως αυτό φαίνεται εξοικειωμένο; Απλά πρέπει να το φανταστούμε αυτό! Αυτό είναι ένα τέλειο τετράγωνο τετράγωνο. Από # a ^ 2-2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, μπορούμε να πούμε

# a ^ 4-2a ^ 2 + 1 = (a ^ 2-1) ^ 2 #

Τώρα, γυρίστε πίσω στην αρχική κατάσταση. Επανατοποθετήστε #sin x # Για #ένα#.

(sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (χρώμα (μπλε) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε μια τριγωνομετρική ταυτότητα για να απλοποιήσουμε τους όρους με μπλε χρώμα. Επαναδιάταξη της ταυτότητας # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, παίρνουμε #color (μπλε) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (χρώμα (μπλε) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Μόλις το τετράγωνο αυτό, τα αρνητικά σημάδια πολλαπλασιάζονται για να γίνουν θετικά.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

Ετσι, # (sin ^ 4x - 2 sin ^ 2x +1) cos x = cos ^ 5x #.