Βρείτε την περιοχή της σκιασμένης περιοχής;

Απάντηση:

Παρακαλούμε δείτε παρακάτω.

Εξήγηση:

Όταν μαθαίνουμε πρώτα να βρούμε τομείς με την ολοκλήρωση, παίρνουμε αντιπροσωπευτικά ορθογώνια κάθετα.

Τα ορθογώνια έχουν βάση # dx # (μια μικρή αλλαγή στο #Χ#) και ύψος ίσο με το μεγαλύτερο # y # (εκείνη στην άνω καμπύλη) μείον το μικρότερο # y # (η κατώτερη καμπύλη). Στη συνέχεια ενσωματώνουμε από το μικρότερο #Χ# αξία στο μέγιστο #Χ# αξία.

Για αυτό το νέο πρόβλημα, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε δύο τέτοιες intergrals (βλέπε την απάντηση του Jim S), αλλά είναι πολύ σημαντικό να μάθουμε να γυρίζουμε το σκεπτικό μας #90^@#.

Θα λάβουμε αντιπροσωπευτικά ορθογώνια ορθογώνια.

Τα ορθογώνια έχουν ύψος # dy # (μια μικρή αλλαγή στο # y #) και βάσεις ίσες με τις μεγαλύτερες #Χ# (εκείνη στην κατώτατη καμπύλη) μείον το μικρότερο #Χ# (η μία στην αριστερή καμπύλη). Στη συνέχεια ενσωματώνουμε από το μικρότερο # y # αξία στο μέγιστο # y # αξία.

Παρατηρήστε τη δυαδικότητα

("κάτω", iff, "leftmost"), (x, x, y) iff, y):} #

Η φράση "από το μικρότερο #Χ# αξία στο μέγιστο #Χ# η τιμή "δείχνει ότι ενσωματώνουμε από αριστερά προς τα δεξιά (προς την κατεύθυνση της αύξησης #Χ# αξίες.)

Η φράση "από το μικρότερο # y # αξία στο μέγιστο # y # αξία "δείχνει ότι θα ενσωματωθεί από κάτω προς τα πάνω (προς την κατεύθυνση της αύξησης # y # αξίες.)

Εδώ υπάρχει μια εικόνα της περιοχής με ένα μικρό ορθογώνιο που υποδεικνύεται:

Η περιοχή είναι

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Απάντηση:

Το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής είναι # 1m ^ 2 #

Εξήγηση:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (μπορούμε να δούμε από το γράφημα)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># # x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (μπορούμε επίσης να δούμε από το γράφημα)

Ένας από τους πολλούς τρόπους που μπορεί να εκφραστεί η περιοχή της σκιασμένης περιοχής θα μπορούσε να είναι η περιοχή του τριγώνου # AhatOB = Ω # με εξαίρεση την κυανή περιοχή την οποία θα καλέσω #color (κυανό) (Ω_3) #

Αφήνω #Ω_1# είναι η μαύρη περιοχή που εμφανίζεται στο γράφημα και #color (πράσινο) (Ω_2) # την πράσινη περιοχή που εμφανίζεται στο γράφημα.

Η περιοχή του μικρού τριγώνου # ChatAD = # #color (πράσινο) (Ω_2) # θα είναι:

• #color (πράσινο) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

Η περιοχή του #Ω_1# θα είναι:

(1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Ως αποτέλεσμα, η σκιασμένη περιοχή θα είναι

• #Ω_1## + χρώμα (πράσινο) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #