Είναι γνωστό ότι η εξίσωση bx ^ 2- (a-3b) χ + b = 0 έχει μία πραγματική ρίζα. Αποδείξτε ότι η εξίσωση x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

Οι ρίζες για # bx ^ 2- (α-3β) χ + β = 0 # είναι

# a = 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2b) #

Οι ρίζες θα είναι συνεπείς και πραγματικές εάν

(α-β) (α-β) = 0 #

# a = b # ή # a = 5b #

Επίλυση τώρα

(α-β) χ + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # έχουμε

# x = 1/2 (-α + βμ sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Η συνθήκη για τις σύνθετες ρίζες είναι

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

τώρα κάνει # a = b # ή # a = 5b # έχουμε

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Τελικά, αν # bx ^ 2- (α-3β) χ + β = 0 # έχει συνεπώς πραγματικές ρίζες τότε (α-β) χ + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # θα έχουν σύνθετες ρίζες.

Δίνεται μας ότι η εξίσωση:

# bx ^ 2- (α-3β) χ + β = 0 #

έχει μια πραγματική ρίζα, επομένως η διαφορά αυτής της εξίσωσης είναι μηδέν:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2-4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2-4b ^ 2 = 0 #

#:. α ^ 2-6ab + 9b ^ 2-4b ^ 2 = 0 #

#:. α ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (α-5b) (α-β) = 0 #

#:. a = b #, ή # a = 5b #

Προσπαθούμε να δείξουμε την εξίσωση:

(α-β) χ + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

δεν έχει πραγματικές ρίζες. Αυτό θα απαιτούσε αρνητικές διακρίσεις. Το διακριτικό για αυτή την εξίσωση είναι:

# Delta = (a-b) ^ 2-4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = α ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Και τώρα ας εξετάσουμε τις δύο πιθανές περιπτώσεις που ικανοποιούν την πρώτη εξίσωση:

Περίπτωση 1: # a = b #

# Delta = α ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

(β) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Περίπτωση 2: # a = 5b #

# Delta = α ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

(5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Επομένως οι συνθήκες της πρώτης εξίσωσης είναι τέτοιες ώστε η δεύτερη εξίσωση να έχει πάντα αρνητική διαφορά και ως εκ τούτου έχει πολύπλοκες ρίζες (δηλαδή δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες), QED