Ποια είναι τα τοπικά άκρα του f (x) = xlnx-xe ^ x;

Απάντηση:

Αυτή η λειτουργία δεν έχει τοπικά ακρότατα.

Εξήγηση:

# f (x) = xlnx-xe ^ x υποδηλώνει #

(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Για #Χ# να είναι ένα τοπικό άκρο, # g (x) # πρέπει να είναι μηδέν. Τώρα θα δείξουμε ότι αυτό δεν συμβαίνει για οποιαδήποτε πραγματική αξία #Χ#.

Σημειώστε ότι

(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {'

Ετσι # g ^ '(x) # θα εξαφανιστεί αν

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Αυτή είναι μια υπερβατική εξίσωση η οποία μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά. Από # g ^ '(0) = + oo # και # g ^ '(1) = 1-3e <0 #, η ρίζα βρίσκεται μεταξύ 0 και 1. Και από τότε #g ^ {''} (0) <0 # για όλα τα θετικά #Χ#, αυτή είναι η μόνη ρίζα και αντιστοιχεί σε ένα μέγιστο για # g (x) #

Είναι αρκετά εύκολο να επιλύσουμε την εξίσωση αριθμητικά, και αυτό δείχνει ότι # g (x) # έχει ένα το μέγιστο στο # x = 0,3152 # και η μέγιστη τιμή είναι #g (0,3152) = -1,957 #. Από τη μέγιστη τιμή του # g (x) # είναι αρνητική, δεν υπάρχει τιμή #Χ# στο οποίο # g (x) # εξαφανίζεται.

Μπορεί να είναι διδακτικό να το εξετάσουμε γραφικά:

γράφημα {x log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

Όπως μπορείτε να δείτε από το παραπάνω γράφημα, η λειτουργία # f (x) # έχει στην πραγματικότητα ένα μέγιστο σε # x = 0 # - αλλά αυτό δεν είναι τοπικό μέγιστο. Το παρακάτω γράφημα δείχνει ότι # g (x) equiv f ^ '(x) # ποτέ δεν παίρνει την τιμή μηδέν.

γράφημα {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}