Ποια είναι τα τοπικά άκρα, εάν υπάρχουν, του f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Απάντηση:

# f_min = f (1) = 0 #

# f_max = f (e ^ (- 2)) περίπου 0,541 #

Εξήγηση:

# f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Εφαρμογή του κανόνα προϊόντος

# f '(x) = x * 2inx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2inx #

Για τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα: # f '(x) = 0 #

Αφήνω # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

# z (z + 2) = 0 -> z = 0 ή z = -2 #

Ως εκ τούτου για το τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο:

#lnx = 0 ή lnx = -2 #

#: x = 1 ή x = e ^ -2 περίπου 0.135 #

Τώρα εξετάστε το γράφημα του # x (lnx) ^ 2 # παρακάτω.

διάγραμμα {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

Μπορούμε να παρατηρήσουμε αυτό απλοποιημένο # f (x) # έχει τοπικό ελάχιστο στο # x = 1 # και ένα τοπικό μέγιστο στο # x σε (0, 0.25) #

Ως εκ τούτου: # f_min = f (1) = 0 # και # f_max = f (e ^ (- 2)) περίπου 0,541 #