Χρησιμοποιήστε τα a) και b) για να αποδείξετε hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Από ό, τι λέτε εκεί επάνω, όλα αυτά που μοιάζει να υποθέτουμε είναι να το δείξουμε #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Φαίνεται ότι οποιοσδήποτε χώρος έχεις αυτή την ερώτηση μπερδεύεται για τον ορισμό του # hatT_L #.

Θα καταλήξουμε να αποδείξουμε ότι χρησιμοποιούμε

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

δίνει

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

και δεν #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Αν θέλουμε τα πάντα να είναι συνεπή, τότε αν #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, θα έπρεπε να είναι αυτό # hatD, hatx = bb (-1) #. Έχω διορθώσει την ερώτηση και το έχω ήδη απαντήσει.

Από το μέρος 1, είχαμε δείξει ότι για αυτόν τον ορισμό (ότι #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Από # f (x_0 - L) # είναι ένα eigenstate του # hatT_L #, η άμεση μορφή που έρχεται στο μυαλό είναι ένας εκθετικός φορέας # e ^ (LhatD) #. Το εννοούμε αυτό #hatD = + ihatp_x // ℏ #, και θα δείξουμε ότι αυτό είναι αλήθεια.

Θυμηθείτε ότι στην απόδειξη που παρουσιάζεται στο μέρος 1, είχαμε γράψει:

(hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

και εκεί θα πρέπει να το χρησιμοποιήσουμε. Το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι Ο Taylor επεκτείνεται τον εκθετικό χειριστή και να δείξει ότι η παραπάνω απόδειξη εξακολουθεί να ισχύει.

Αυτό φαίνεται επίσης με λεπτομέρεια εδώ. Έχω επεκταθεί για να είναι πιο εμπεριστατωμένη …

(n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (η!) = άθροισμα (n = 0) hatD) ^ n #

Δώστε αυτό #ΜΕΓΑΛΟ# είναι μια σταθερά, μπορούμε να το παραγάγουμε από τον αγωγό. # hatx # μπορεί να πάει μέσα, δεν εξαρτάται από δείκτη. Επομένως:

(1) (htx, e ^ (LhatD)) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 /

Τώρα, το προτείναμε #hatD = ihatp_x // ℏ #, και αυτό θα είχε νόημα επειδή γνωρίζουμε ότι:

(x) (x) (x) (x) (x) (x) (x)

# = ακύρωση (-iℏx (df) / (dx) + ixx (df) / (dx)

έτσι ώστε # hatx, hatp_x = i #. Θα σήμαινε ότι όσο καιρό #hatT_L = e ^ (LhatD) #, μπορούμε τελικά να πάρουμε έναν ΣΥΝΟΛΟ ορισμό και στα δύο μέρη του προβλήματος και να πάρουμε:

#color (μπλε) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = χρώμα (μπλε) (1) #

Από αυτό, επεκτείνουμε περαιτέρω το commutator:

(n) (htx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / } #

= (1) (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n

Τώρα, ξέρουμε # hatx, hatp_x #, αλλά όχι απαραίτητα # hatx, hatp_x ^ n #. Μπορείτε να πείσετε τον εαυτό σας αυτό

(dx ^ n) (xx (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^) #

και αυτό

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

(dx) ^ n = (-i ^) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

έτσι ώστε:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

(x) (x) (x) (x) (x) (x) (x)

(d ^ nn) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) f) / (dx ^ (η-1))) #

(x) (d (n)) - n (1) (n-1) f) / (dx ^ (η-1))}

(n-1)) (- i) (- n (d ^ (n - 1) f)

(n-1)) f (x) / (dx) (n-1)

Αυτό το αναγνωρίζουμε (n-1)) / (dx ^ (n-1)) # (h-1). Ετσι,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, υπό την προϋπόθεση # n> = 1 #.

Από αυτό, βρίσκουμε:

(h), (e) (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (nl) (L ^ n) hatx, (ihatp_x) / (ℏ) ^ n} #

= (1) (n) = (1) (n) (1)

όπου αν αξιολογήσετε το # n = 0 # μακροπρόθεσμα, θα πρέπει να δείτε ότι φτάνει στο μηδέν, οπότε παραλείψαμε. Συνεχίζοντας, έχουμε:

(n) (n) (n) (n) (1) (n)

(n-1) (1) (1 / ((n-1)) ((iL) / ℏ) ^ (n-1)) #

Εδώ απλά προσπαθούμε να φτιάξουμε ξανά αυτή την εκθετική λειτουργία.

(n-1) / ((n-1) l) = (i-1)

(όροι ομάδας)

(N = 1) / ((n-1))) = (1)

(αξιολογήστε το εξωτερικό)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) (ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^

(αν # n # αρχίζει από το μηδέν, το # (η-1) #ο όρος αυτός γίνεται # n #ο όρος.)

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε επιτέλους:

# => χρώμα (μπλε) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = χρώμα (μπλε) (- LhatT_L) #

Και πάλι επιστρέφουμε στον αρχικό μεταγωγέα, δηλ. ότι

# hatx, hatT_L = -LhatT_L χρώμα (μπλε) (sqrt "") #

Τέλος, ας το δείξουμε αυτό # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (η!), hatD #

= (άθροισμα (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD !)) #

Γράφοντας αυτό ρητά, μπορούμε να το δούμε να λειτουργεί:

# = χρώμα (μπλε) (hatT_L "," hatD) = (LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1) +… #

= ((LhatD) ^ 0) / (0) hatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0) + ((LhatD) 1) / (1) +… # #

# = (LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1), hatD +… # #

= = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1) (hatD) ^ (1), hatD +… # #

# = χρώμα (μπλε) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD)

και από τότε # hatD # πάντα μετακινεί με τον εαυτό της, # hatD ^ n, hatD = 0 # και ως εκ τούτου,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (μπλε) (sqrt "") #