Ποια είναι τα τοπικά μέγιστα και τα ελάχιστα του f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Απάντηση:

# f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Αυτή η λειτουργία έχει μια κάθετη ασυμπτωτική στο # x = 2 #, προσεγγίσεις #1# από πάνω ως x πηγαίνει # + oo # (οριζόντια ασυμπτωτική) και προσεγγίσεις #1# από κάτω ως x πηγαίνει # -oo #. Όλα τα παράγωγα είναι απροσδιόριστα σε # x = 2 # επισης. Υπάρχει ένα τοπικό ελάχιστο στο # x = 0 #, # y = 0 # (Όλα αυτά τα προβλήματα για την προέλευση!)

Σημειώστε ότι μπορεί να θέλετε να ελέγξετε τα μαθηματικά μου, ακόμη και οι καλύτεροι από εμάς πτώση το περίεργο αρνητικό σημάδι και αυτό είναι μια μακρά ερώτηση.

Εξήγηση:

# f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Αυτή η λειτουργία έχει μια κάθετη ασυμπτωτική στο # x = 2 #, επειδή ο παρονομαστής είναι μηδέν όταν # x = 2 #.

Προσεγγίζει #1# από πάνω ως x πηγαίνει # + oo # (οριζόντια ασυμπτωτική) και προσεγγίσεις #1# από κάτω ως x πηγαίνει # -oo #, επειδή για μεγάλες τιμές # x ^ 2 ~ = (χ-2) ^ 2 # με # x ^ 2> (χ-2) ^ 2 # Για # x> 0 # και # x ^ 2 <(χ-2) ^ 2 # Για # x <0 #.

Για να βρούμε max / min χρειαζόμαστε το πρώτο και το δεύτερο παράγωγο.

(x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # d (x)} / dx = d / Χρησιμοποιήστε τον κανόνα του πηλίκο!

(d-dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2)) ^ 4)) #.

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τις δυνάμεις και τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε:

(x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 # (x-2).

Τώρα αχαλίνουμε λίγο …

(x-2) 4 (x-2) x (x-2)

(x-2) 4 # # (d) (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x-

(x) = dx = {4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Τώρα το δεύτερο παράγωγο, όπως το πρώτο.

(x-2) ^ - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x) -2) ^ 4))} / (χ-2) ^ 8 #

(x-2) ^ - (4x2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3) } / (x-2) ^ 8 #

(x-2) ^ - (4x2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3) } / (x-2) ^ 8 #

Είναι άσχημο, αλλά χρειάζεται μόνο να συνδέσουμε και να σημειώσουμε πού συμπεριφέρεται άσχημα.

(x) = dx = {4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Αυτή η λειτουργία είναι απροσδιόριστη σε # x = 2 #, ότι ασυμπτώ, αλλά φαίνεται καλό παντού.

Θέλουμε να γνωρίζουμε ότι οι max / min είναι …

θέσαμε # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (χ-2) ^ 4 = 0 # αυτό είναι μηδέν όταν ο αριθμητής είναι μηδέν και αν ο παρονομαστής δεν είναι.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-χ + 2) = 0 # ή # 4x (2-χ) = 0 # Αυτό είναι μηδέν στο # x = 0 # και # x = 2 #, αλλά δεν μπορούμε να έχουμε ένα μέγιστο / λεπτό ήταν το παράγωγο / λειτουργία δεν είναι καθορισμένες, έτσι η μόνη δυνατότητα είναι # x = 0 #.

"η δεύτερη δοκιμή παραγώγου"

Τώρα εξετάζουμε το δεύτερο παράγωγο, άσχημο όπως είναι …

(x-2) ^) - (4x2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (χ-2) ^ 8 #

Όπως και η συνάρτηση και το πρώτο παράγωγο αυτό δεν είναι καθορισμένο # x = 2 #, αλλά φαίνεται οπουδήποτε αλλού.

Συνδέουμε # x = 0 # σε {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, δεν είναι μηδέν ένας τόσο καλός αριθμός για να το συνδέσετε;

#=128/256# όλα αυτά για #1/2#

#1/2 >0# Έτσι # x = 0 # είναι ένα τοπικό ελάχιστο.

Για να βρούμε την τιμή y πρέπει να την συνδέσουμε στη λειτουργία.

# f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Η προέλευση!