Βρείτε τα μέγιστα και τα ελάχιστα του f (x) = 5sinx + 5cosx σε ένα διάστημα [0,2pi]?

Απάντηση:

Υπάρχει

#color (σκουρόχρωμο) (sin (pi / 4)) = χρώμα (σκούρο μπλε) (cos (pi / 4)) =

# f (x) = 5sinx + 5cosx #

#color (λευκό) (f (x)) = 5 (έγχρωμο (σκούρο μπλε) (1) * sinx + χρώμα

#color (άσπρο) (f (x)) = 5 (χρώμα (σκουρόχρωμο)

Εφαρμόστε την ταυτότητα της σύνθετης γωνίας για τη λειτουργία ημίτονο

#sin (άλφα + βήτα) = sin άλφα * cos βήτα + cos αλφα * sin βήτα #

#color (μαύρο) (f (x)) = 5 * sin (pi / 4 + x) #

Αφήνω #Χ# να είναι το #Χ-#συντονίζει τα τοπικά ακραία σημεία αυτής της λειτουργίας.

# 5 * cos (pi / 4 + χ) = f '(χ) = 0 #

# pi / 4 + χ = pi / 2 + k * pi # όπου #κ# έναν ακέραιο αριθμό.

# x = -pi / 2 + k * pi #

# x στο {pi / 2, (3pi) / 2} #

# f (pi / 2) = 5 * sin (pi / 2) = 5 #,

Ως εκ τούτου, υπάρχει ένα τοπικό μέγιστο σε # (pi / 2, 5) #
# f (pi / 2) = 5 * sin ((3pi) / 2) = - 5 #,

Ως εκ τούτου, υπάρχει ένα τοπικό ελάχιστο στο # (pi / 2, -5) #