Η μεγαλύτερη πλευρά ενός δεξιού τριγώνου είναι ^ 2 + b ^ 2 και η άλλη πλευρά είναι 2ab. Ποια προϋπόθεση θα κάνει την τρίτη πλευρά να είναι η μικρότερη πλευρά;

Απάντηση:

Για να είναι η τρίτη πλευρά όσο το συντομότερο, απαιτούμε # (1 + sqrt2) | β |> absa> absb # (και αυτό #ένα# και #σι# έχουν το ίδιο σήμα).

Εξήγηση:

Η μακρύτερη πλευρά ενός δεξιού τριγώνου είναι πάντα η υποτείνουσα. Γνωρίζουμε λοιπόν ότι το μήκος της υποτείνουσας είναι # a ^ 2 + b ^ 2. #

Αφήστε το άγνωστο μήκος πλευράς να είναι #ντο.# Στη συνέχεια, από το Πυθαγόρειο θεώρημα, ξέρουμε

# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #

ή

# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #

#color (άσπρο) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2)

#color (άσπρο) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #

#color (άσπρο) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #

#color (λευκό) c = a ^ 2-b ^ 2 #

Επίσης, απαιτούμε ότι όλα τα μήκη πλευράς να είναι θετικά, έτσι

• # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #

  # => α! = 0 ή β! = 0 #

• # 2ab> 0 #

  # => α, β> 0 ή α, β <0 #

• # c = α ^ 2-b ^ 2> 0 #

  # <=> α ^ 2> b ^ 2 #

  # <abs> absb #

Τώρα, για όποιος τρίγωνο, η μακρύτερη πλευρά πρέπει να είναι μικρότερη από την άθροισμα από τις άλλες δύο πλευρές. Έτσι έχουμε:

#color (λευκό) (=>) 2ab + "" c χρώμα (άσπρο) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

= 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab χρώμα (άσπρο) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

(a <b>, "εάν b <0): #

Επιπλέον, για να είναι η τρίτη πλευρά μικρότερη, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

ή # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # ή # a-b <sqrt2b # ή #a <b (1 + sqrt2) #

Συνδυάζοντας όλους αυτούς τους περιορισμούς, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι για να είναι η τρίτη πλευρά όσο το δυνατόν συντομότερη, πρέπει να έχουμε = (Α + β) 0, ή a, b> 0). #