Το τρίγωνο Α έχει μια περιοχή 9 και δύο πλευρές μήκους 6 και 9. Το τρίγωνο Β είναι παρόμοιο με το τρίγωνο Α και έχει πλευρά μήκους 12. Ποιες είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες δυνατές περιοχές του τριγώνου Β;

Απάντηση:

Ελάχιστη # = frac {144 {13 -8 sqrt {2})} {41} περίπου 5.922584784 … #

Μέγιστη # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} περίπου 85.39448839 … #

Εξήγηση:

Δεδομένος:

# Περιοχή _ { triangleA} = 9 #

Πλευρά μήκους # triangleA # είναι # Χ, Υ, Ζ #

# Χ = 6, Υ = 9 #

Πλευρά μήκους # triangleB # είναι # U, V, W #

# U = 12 #

# τρίγωνο Α κείμενο {παρόμοιο} τρίγωνο B #

πρώτα λύσει για # Z #:

χρησιμοποιήστε τον τύπο του Heron: # S = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # όπου # S = frac {Α + Β + Ο} {2} #, δευτερεύουσα περιοχή 9 και πλευρικά μήκη 6 και 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

(Frac {Z - 3} {2}) (frac {15 - Z} { 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2-9)} {16} #

# 1296 = -Ζ ^ 4 + 234Ζ ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

Αφήνω # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

χρησιμοποιήστε τετραγωνική φόρμουλα

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # Απορρίψτε τις αρνητικές λύσεις ως # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Ετσι # Ζ περίπου 3.895718613 # και # 14.79267983 # αντίστοιχα

# γιατί το τρίγωνο A κείμενο {παρόμοιο} τρίγωνο Β, Περιοχή _ { triangle B} = k ^ 2 * Περιοχή _ { triangleA} # όπου #κ# είναι ο συντελεστής αλλαγής μεγέθους

# k = 12 / s # όπου διατάσσονται με αύξουσα σειρά: #s {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

ή σε δεκαδική μορφή: #s in {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή #μικρό#, τόσο μικρότερη είναι η περιοχή και τόσο μικρότερη είναι η τιμή #μικρό#, τόσο μεγαλύτερη είναι η Περιοχή,

Έτσι, για να ελαχιστοποιήσετε την επιλογή περιοχής # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

και να μεγιστοποιήσετε την επιλογή περιοχής # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} + 13} #

Έτσι, ελάχιστη περιοχή # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 {13 -8 sqrt {2})} {41} περίπου 5.922584784 … #

και τη μέγιστη περιοχή # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}}

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} περίπου 85.39448839 … #