Ποια είναι τα τοπικά άκρα, εάν υπάρχουν, του f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x);

Απάντηση:

#(0.14414, 0.05271)# είναι ένα τοπικό μέγιστο

#(1.45035, 0.00119)# και #(-1.59449, -1947.21451)# είναι τα τοπικά ελάχιστα.

Εξήγηση:

# f (x) = γ = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7χ-χ ^ 3) = 0,:. e ^ (7χ-χ ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Αυτό δεν χαρακτηρίζεται ως τοπικό άκρο.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Για να λυθεί για τις ρίζες αυτής της κυβικής συνάρτησης, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο Newton-Raphson:

# x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

Αυτή είναι μια επαναληπτική διαδικασία που θα μας φέρει πιο κοντά στη ρίζα της λειτουργίας. Δεν συμπεριλαμβάνω τη μακρά διαδικασία εδώ, αλλά έχοντας φθάσει στην πρώτη ρίζα, μπορούμε να εκτελέσουμε μακρά διαίρεση και να λύσουμε το υπόλοιπο τετράγωνο εύκολα για τις άλλες δύο ρίζες.

Θα λάβουμε τις ακόλουθες ρίζες:

# χ = 0.14414, 1.45035 και -1.59449 #

Πραγματοποιούμε τώρα μια πρώτη δοκιμασία παραγώγων και δοκιμάστε τις τιμές στα αριστερά και δεξιά κάθε ρίζας για να δείτε πού το παράγωγο είναι θετικό ή αρνητικό.

Αυτό θα μας πει ποιο σημείο είναι το μέγιστο και το ελάχιστο.

Το αποτέλεσμα θα είναι το εξής:

#(0.14414, 0.05271)# είναι ένα τοπικό μέγιστο

#(1.45035, 0.00119)# και #(-1.59449, -1947.21451)# είναι τα τοπικά ελάχιστα.

Μπορείτε να δείτε ένα από τα ελάχιστα στο παρακάτω γράφημα:

Η παρακάτω προβολή δείχνει το μέγιστο και το άλλο ελάχιστο: