Το ύψος ενός τριγώνου αυξάνεται με ταχύτητα 1,5 cm / min, ενώ η περιοχή του τριγώνου αυξάνεται με ρυθμό 5 τετραγωνικών εκατοστών / λεπτό. Με ποιο ρυθμό αλλάζει η βάση του τριγώνου όταν το υψόμετρο είναι 9 cm και η έκταση είναι 81 τετραγωνικά εκατοστά;

Πρόκειται για πρόβλημα σχετικά με τα ποσοστά (αλλαγής).

Οι μεταβλητές ενδιαφέροντος είναι

#ένα# = υψόμετρο

#ΕΝΑ# = περιοχή και, δεδομένου ότι η περιοχή ενός τριγώνου είναι # A = 1 / 2ba #, χρειαζόμαστε

#σι# = βάση.

Οι δεδομένες μεταβολές είναι σε μονάδες ανά λεπτό, οπότε η (αόρατη) ανεξάρτητη μεταβλητή είναι # t # = χρόνος σε λεπτά.

Μας δίνεται:

# (da) / dt = 3/2 # cm / λεπτό

# (dA) / dt = 5 # εκ#''^2#/ λεπτό

Και μας ζητείται να βρούμε # (db) / dt # πότε # a = 9 # cm και #A = 81 #εκ#''^2#

# A = 1 / 2ba #, διαφοροποιώντας σε σχέση με # t #, παίρνουμε:

# d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba) #.

Θα χρειαστούμε τον κανόνα του προϊόντος στα δεξιά.

(dA) / dt = 1/2 (db) / dt α + 1 / 2b (da) / dt #

Μας δόθηκε κάθε αξία εκτός # (db) / dt # (που προσπαθούμε να βρούμε) και #σι#. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την περιοχή και τις δεδομένες τιμές του #ένα# και #ΕΝΑ#, μπορούμε να το δούμε # b = 18 #εκ.

Αντικατάσταση:

# 5 = 1/2 (db) / dt (9) +1/2 (18) 3/2 #

Επίλυση για # (db) / dt = -17 / 9 #cm / λεπτό.

Η βάση μειώνεται στο #17/9# cm / λεπτό.

Το μήκος ενός ορθογωνίου υπερβαίνει το πλάτος του κατά 4 εκατοστά. Εάν το μήκος αυξάνεται κατά 3 εκατοστά και το πλάτος αυξάνεται κατά 2 εκατοστά, η νέα περιοχή ξεπερνά την αρχική επιφάνεια κατά 79 τετραγωνικά εκατοστά. Πώς βρίσκετε τις διαστάσεις του συγκεκριμένου ορθογωνίου;

13 cm και 17 cm x και x + 4 είναι οι αρχικές διαστάσεις. x + 2 και x + 7 είναι οι νέες διαστάσεις x (x + 4) + 79 = (x + 2) (x + 7) x ^ 2 + 4x + 79 = x ^ 2 + 7x + 2x + 14 x ^ 2 + 4χ + 79 = χ ^ 2 + 9χ + 14 4χ + 79 = 9χ + 14 79 = 5χ + 14 65 = 5χ χ = 13

Το νερό διαρρέει από μια ανεστραμμένη κωνική δεξαμενή με ρυθμό 10.000 cm3 / λεπτό, ενώ το νερό αντλείται στη δεξαμενή με σταθερό ρυθμό. Εάν η δεξαμενή έχει ύψος 6m και η διάμετρος στην κορυφή είναι 4m και εάν η στάθμη του νερού αυξάνεται με ρυθμό 20 cm / min όταν το ύψος του νερού είναι 2m, πώς βρίσκετε το ρυθμό με τον οποίο αντλείται το νερό στη δεξαμενή;

Έστω V ο όγκος του νερού στη δεξαμενή, σε cm ^ 3. ας h είναι το βάθος / ύψος του νερού, σε cm. και ας είναι η ακτίνα της επιφάνειας του νερού (στην κορυφή), σε cm. Δεδομένου ότι η δεξαμενή είναι ένας ανεστραμμένος κώνος, είναι και η μάζα του νερού. Δεδομένου ότι η δεξαμενή έχει ύψος 6 m και ακτίνα στην κορυφή των 2 m, παρόμοια τρίγωνα υποδηλώνουν ότι h = 3r. Ο όγκος του ανεστραμμένου κώνου νερού είναι τότε V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Τώρα διαφοροποιούμε τις δύο πλευρές σε σχέση με το χρόνο t (σε λεπτά) για να πάρουμε frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} βήμα). Αν το V_ {i} είναι ο όγκος του νερ

Ποιο είναι το ποσοστό αλλαγής του πλάτους (σε ft / sec) όταν το ύψος είναι 10 πόδια, αν το ύψος μειώνεται εκείνη τη στιγμή με ρυθμό 1 ft / sec. Ένα ορθογώνιο έχει τόσο μεταβαλλόμενο ύψος όσο και μεταβαλλόμενο πλάτος , αλλά το ύψος και το πλάτος αλλάζουν έτσι ώστε η περιοχή του ορθογωνίου να είναι πάντα 60 τετραγωνικά πόδια;

Ο ρυθμός αλλαγής του πλάτους με το χρόνο (dw) / (dt) = 0,6 "ft / s" (dW) / (dt) = (dw) / dh (DW) / (dh) / (dw) / (dw) xx-1 = - (dW) / (dh) Wxxh = 60 W = 60 / (60) / (h ^ 2)) = (60) / (h ^ 2) Έτσι λοιπόν (dW) / (dt) : rArr (dW) / (dt) = (60) / (10 ^ 2) = 0,6 "ft / s"