Πώς γράφετε (4sqrt (3) -4i) ^ 22 με τη μορφή a + bi;

Απάντηση:

# (4sqrt (3) -4i) ^ 22 = 2 ^ 65 + 2 ^ 65sqrt (3) i #

#color (λευκό) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 36893488147419103232 + 36893488147419103232sqrt (3) i #

Εξήγηση:

Δεδομένος:

# (4sqrt (3) -4i) ^ 22 #

Σημειώστε ότι:

#abs (4sqrt (3) -4i) = sqrt ((4sqrt (3)) ^ 2 + 4 ^ 2) = sqrt

Έτσι # 4sqrt (3) -4i # μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή # 8 (για το theta + i theta theta) # για μερικούς κατάλληλους #θήτα#.

(3) -4i = 8 (sqrt (3) / 2-1 / 2i) = 8 (cos (-pi / 6)

Ετσι:

# (4sqrt (3) -4i) ^ 22 = (8 (cos (-pi / 6) + ισίνη (-pi / 6)

#color (λευκό) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 8 ^ 22 (cos (- 22pi)

#color (λευκό) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 8 ^ 22 (cos (pi /

#color (λευκό) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 8 ^ 22 (1/2 + sqrt (3)

#color (λευκό) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 2 ^ 65 + 2 ^ 65sqrt (3) i #

#color (λευκό) ((4sqrt (3) -4i) ^ 22) = 36893488147419103232 + 36893488147419103232sqrt (3) i #

Απάντηση:

Εδώ είναι ένας τρόπος που δεν χρησιμοποιεί το διωνυμικό θεώρημα.

Εξήγηση:

Παρατηρήστε αυτό # (4sqrt3-4i) ^ 22 = (4 (sqrt3-i)) ^ 22 = 4 ^ 22 (sqrt3-i) ^ 22 #.

Αυτό θα μας επιτρέψει να διατηρήσουμε κάπως τους συντελεστές.

Θα βρούμε την επέκταση του # (sqrt3-i) ^ 22 # και θα πολλαπλασιαστεί με #4^22 = 2^44# στο τέλος.

# (sqrt3-i) ^ 2 = (sqrt3-i) (sqrt3-i) = 3 -1 -2isqrt3 = 2-2isqrt3 #

(sqrt3-i) ^ 3 = (2-2isqrt3) (sqrt3-i) = 2sqrt3-2i-6i-2sqrt3 = -8i #

(sqrt3-i) ^ 21 = ((sqrt3-i) ^ 3) ^ 7 = (-8i) ^ 7 = 2 ^ 21i #

= - (- 8 ^ 7) (i ^ 7) = (-2 ^ 21) (- i) = 2 ^ 21i #

(sqrt3-i) ^ 22 = (2 ^ 21i) (sqrt3-i) = 2 ^ 21 (1 + isqrt3) #

Πολλαπλασιάστε με #4^22 = 2^44#:

Η τελική απάντηση είναι

# = 2 ^ 65 (1+ isqrt3) #