Ποια είναι τα τοπικά άκρα του f (x) = sinx σε [0,2pi];

Απάντηση:

Στο # x = pi / 2 # # f '' (x) = - 1 # έχουμε τοπικά μέγιστα και στο # x = 3pi / 2 #, # f '' (x) = 1 # έχουμε τοπικά ελάχιστα.

Εξήγηση:

Ένα μέγιστο είναι ένα υψηλό σημείο στο οποίο μια λειτουργία ανεβαίνει και πάλι πέφτει. Επομένως, η κλίση της εφαπτομένης ή η τιμή του παραγώγου στο σημείο αυτό θα είναι μηδέν.

Περαιτέρω, καθώς οι εφαπτόμενες προς τα αριστερά των μεγίστων θα κλίνουν προς τα πάνω, τότε θα ισοπεδώνονται και στη συνέχεια θα κυλιούνται προς τα κάτω, η κλίση της εφαπτομένης θα μειώνεται συνεχώς, δηλ. Η τιμή του δεύτερου παραγώγου θα είναι αρνητική.

Ένα ελάχιστο από την άλλη πλευρά είναι ένα χαμηλό σημείο στο οποίο μια λειτουργία πέφτει και στη συνέχεια αυξάνεται και πάλι. Ως τέτοια, η εφαπτομένη ή η αξία του παραγώγου στα ελάχιστα θα είναι μηδέν.

Όμως, καθώς οι εφαπτόμενες στα αριστερά των ελαχίστων θα κλίνουν προς τα κάτω, τότε θα ισοπεδώσουν και στη συνέχεια θα κλίνουν προς τα πάνω, η κλίση της εφαπτομένης θα αυξάνεται συνεχώς ή η αξία του δεύτερου παραγώγου θα είναι θετική.

Ωστόσο, αυτά τα μέγιστα και τα ελάχιστα μπορούν να είναι είτε καθολικά, δηλ. Μέγιστα ή ελάχιστα για ολόκληρο το εύρος είτε μπορούν να εντοπιστούν, δηλ. Μέγιστα ή ελάχιστα σε περιορισμένο εύρος.

Ας δούμε αυτό με αναφορά στη λειτουργία που περιγράφεται στην ερώτηση και γι 'αυτό ας διαφοροποιήσουμε πρώτα # f (x) = sinx #.

# f '(x) = cosx # και επάνω # 0,2pi # είναι #0# στο # x = pi / 2 # και # x = (3pi) / 2 #.

# f '' (x) = - sinx # και ενώ στο # x = pi / 2 # # f '' (x) = - 1 # που σημαίνει ότι έχουμε τοπικές μέγιστες τιμές, στο # x = 3pi / 2 #, # f '' (x) = 1 # πράγμα που σημαίνει ότι έχουμε τοπικά ελάχιστα.

γράφημα {sinx -1, 7, -1,5, 1,5}