Ποια είναι τα απόλυτα ακραία σημεία του f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x στο [0, pi / 4];

Απάντηση:

απόλυτο μέγ.: # (pi / 4, pi / 4) #

απόλυτο λεπτό: #(0, 0)#

Δεδομένος: # f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x στο 0, pi / 4 #

Βρείτε το πρώτο παράγωγο χρησιμοποιώντας τον κανόνα του προϊόντος δύο φορές.

Κανόνας προϊόντος: # (uv) '= uv' + v u '#

Αφήνω #u = 2x; "" u "= 2 #

Αφήνω #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v "= 2 sin x cos x #

# f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

Για το δεύτερο μισό της εξίσωσης:

Αφήνω #u = x; "" u "= 1 #

Αφήνω # v = cos (2x); "v" = (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) #

(x) = x (2) (x) = cos (2x) (1)

Απλοποιώ:

(2x sin (2x)) + cos (2x) # f '(x) = ακύρωση (2x sin (2x)

# f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

# f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

# f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

Η Πυθαγόρεια Ταυτότητα # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν κρίσιμες τιμές όταν # f '(x) = 0 #

Απόλυτο Μέγιστο και ελάχιστο θα βρεθούν στα τελικά σημεία του διαστήματος λειτουργίας.

Δοκιμάστε τα τελικά σημεία της λειτουργίας:

# f (0) = 0. "Απόλυτο ελάχιστο:" (0, 0) #

# f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi /

# f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi /

# f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

# f (pi / 4) = pi / 4. "Απόλυτο μέγιστο:" (pi / 4, pi / 4) #