Βρείτε μια διανυσματική συνάρτηση, r (t), που αντιπροσωπεύει την καμπύλη της τομής των δύο επιφανειών. Ο κύλινδρος x ^ 2 + y ^ 2 = 81 και η επιφάνεια z = xy;

Απάντηση:

Η καμπύλη της τομής μπορεί να παραμετροποιηθεί ως # (z, r) = ((81/2) sin2 θήτα, 9) #.

Εξήγηση:

Δεν είμαι σίγουρος τι εννοείτε με τη λειτουργία του φορέα. Αλλά καταλαβαίνω ότι επιδιώκετε να αντιπροσωπεύσετε την καμπύλη της τομής μεταξύ των δύο επιφανειών στη δήλωση ερωτήσεων.

Δεδομένου ότι ο κύλινδρος είναι συμμετρικός γύρω από το # z # μπορεί να είναι ευκολότερο να εκφραστεί η καμπύλη σε κυλινδρικές συντεταγμένες.

Αλλαγή σε κυλινδρικές συντεταγμένες:

# x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# z = z #.

# r # είναι η απόσταση από το # z # άξονας και #θήτα# είναι η αντίθετη από τη φορά των δεικτών ρολογιού γωνία από το #Χ# άξονα στο # x, y # επίπεδο.

Στη συνέχεια γίνεται η πρώτη επιφάνεια

# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #

# r ^ 2cos ^ 2 ^ theta + r ^ 2sin ^ 2 ^ theta = 81 #

# r ^ 2 = 81 #

# r = 9 #, λόγω της πυθαγόριας τριγωνομετρικής ταυτότητας.

Η δεύτερη επιφάνεια γίνεται

#z = xy #

#z = rcos theta rsin theta #

# z = r ^ 2sin theta cos theta #.

Από την εξίσωση της πρώτης επιφάνειας μάθαμε ότι η διασταυρούμενη καμπύλη πρέπει να είναι σε τετραγωνική απόσταση # r ^ 2 = 81 # από την πρώτη επιφάνεια, δίνοντας αυτό

#z = 81 sin theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, μια καμπύλη που έχει παραμετροποιηθεί από το #θήτα#. Το τελευταίο βήμα είναι μια τριγωνομετρική ταυτότητα και γίνεται μόνο από προσωπική προτίμηση.

Από αυτή την έκφραση βλέπουμε ότι η καμπύλη είναι πράγματι μια καμπύλη, καθώς έχει έναν βαθμό ελευθερίας.

Συνολικά, μπορούμε να γράψουμε την καμπύλη ως

# (z, r) = ((81/2) sin2 θήτα, 9) #, η οποία είναι μια διανυσματική αξία μιας μόνο μεταβλητής #θήτα#.

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

Λαμβάνοντας υπόψη τη διασταύρωση του

# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z σε RR):}

με

# C_2-> z = x y #

ή # C_1 nn C_2 #

έχουμε

(x ^ 2y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2)

τώρα επίλυση για # x ^ 2, y ^ 2 # λαμβάνουμε τις παραμετρικές καμπύλες

(y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))) ^ 2))):} # ή

(y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), -4 z ^ 2))}):} #

τα οποία είναι πραγματικά πραγματικά

(r / 2) ^ 2 #

Επισυνάφθηκε μια γραφική απεικόνιση που δείχνει την καμπύλη διασταύρωσης με κόκκινο χρώμα (ένα φύλλο).