Τι είναι τρεις παράλογοι αριθμοί μεταξύ 2 και 3;

Απάντηση:

Παρακαλούμε δείτε παρακάτω.

Εξήγηση:

Εξουσίες του #2# είναι #2, 4, 8, 16, 32#

και τις εξουσίες του #3# είναι #3, 9, 27, 81, 243#

Ως εκ τούτου # sqrt7 #, #root (3) 17 #, #root (4) 54 # και #root (5) 178 # είναι όλοι παράλογοι αριθμοί μεταξύ #2# και #3#,

όπως και #4<7<9#; #8<17<27#; #16<54<81# και #32<178<243#.

Για άλλους τρόπους εύρεσης τέτοιων αριθμών δείτε Τι είναι τρεις αριθμοί μεταξύ 0,33 και 0,34;

Απάντηση:

#sqrt (2) +1, e, pi-1 # και πολλοί άλλοι.

Εξήγηση:

Προσθέτοντας την άλλη απάντηση, μπορούμε εύκολα να δημιουργήσουμε πολλούς αριθμούς όπως θα θέλαμε σημειώνοντας ότι το άθροισμα ενός παράλογου και ενός ορθολογικού είναι παράλογο. Για παράδειγμα, έχουμε τα καλά γνωστά παράλογα # ε = 2.7182 … # και #pi = 3.1415 … #.

Έτσι, χωρίς να ανησυχούμε για τα ακριβή όρια, μπορούμε σίγουρα να προσθέσουμε οποιοδήποτε θετικό αριθμό μικρότερο από #0.2# προς το #μι# ή αφαιρέστε ένα θετικό αριθμό μικρότερο από #0.7# και να πάρετε ένα άλλο παράλογο στο επιθυμητό εύρος. Ομοίως, μπορούμε να αφαιρέσουμε οποιοδήποτε θετικό αριθμό μεταξύ #0.2# και #1.1# και να πάρει ένα παράλογο μεταξύ #2# και #3#.

# 2 <e <e + 0,1 <e + 0,11 <e + 0,111 <… <e + 1/9 <3 #

# 2 <pi-1.1 <pi-1.01 <pi-1.001 <… <pi-1 <3 #

Αυτό μπορεί να γίνει με οποιοδήποτε παράλογο για το οποίο έχουμε μια προσέγγιση για τουλάχιστον το ακέραιο τμήμα. Για παράδειγμα, το ξέρουμε αυτό # 1 <sqrt (2) <sqrt (3) <2 #. Οπως και #sqrt (2) # και #sqrt (3) # είναι και οι δύο παράλογες, μπορούμε να προσθέσουμε #1# σε καθένα από αυτά για να πάρει περαιτέρω παράλογες στην επιθυμητή περιοχή:

# 2 <sqrt (2) +1 <sqrt (3) +1 <3 #

Απάντηση:

Οι παράλογοι αριθμοί είναι αυτοί που δεν δίνουν ποτέ σαφές αποτέλεσμα. Τρία από αυτά # 2 και 3 # θα μπορούσε: # sqrt5, sqrt6, sqrt7 #, και υπάρχουν πολλά άλλα που ξεπερνούν την προ-άλγεβρα.

Εξήγηση:

Οι παράλογοι αριθμοί είναι πάντα προσεγγίσεις μιας τιμής και κάθε μία τείνει να συνεχίζεται για πάντα. Ρίζες όλων των αριθμών που είναι όχι τέλεια τετράγωνα (NPS) είναι παράλογες, όπως και μερικές χρήσιμες αξίες όπως #πι# και #μι#.

Για να βρείτε τους παράλογους αριθμούς μεταξύ δύο αριθμών όπως # 2 και 3 # πρέπει πρώτα να βρούμε τετράγωνα των δύο αριθμών που στην προκειμένη περίπτωση είναι # 2 ^ 2 = 4 και 3 ^ 2 = 9 #.

Τώρα γνωρίζουμε ότι τα αρχικά και τα τελικά σημεία της σειράς δυνατών λύσεων είναι # 4 και 9 # αντίστοιχα. Γνωρίζουμε επίσης ότι και οι δύο # 4 και 9 # είναι τέλεια τετράγωνα γιατί τετραγωνισμός είναι το πώς τα βρήκαμε.

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω ορισμό, μπορούμε να πούμε ότι η ρίζα όλων των αριθμών NPS μεταξύ των δύο τετραγώνων που μόλις βρήκαμε θα είναι παράλογοι αριθμοί μεταξύ των αρχικών αριθμών. Μεταξύ # 4 και 9 # έχουμε #5, 6, 7, 8#. των οποίων οι ρίζες είναι # sqrt5, sqrt6, sqrt7, sqrt8. #

Οι ρίζες αυτών θα είναι παράλογες μεταξύ των αριθμών # 2 και 3 #.

Π.χ: # sqrt8 ~~ 2.82842712474619 …………… # όπου οι κυματοειδείς γραμμές σημαίνουν κατά προσέγγιση, ή, δεν θα έχουμε ποτέ την ακριβή αριθμητική απάντηση.