Lim_ (x> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / χ));

Απάντηση:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Εξήγηση:

ψάχνουμε:

(1 / x) / (sin (1 / χ)) #

Όταν αξιολογούμε ένα όριο, εξετάζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης "κοντά" στο σημείο, όχι κατ 'ανάγκη τη συμπεριφορά της λειτουργίας "στο" στο εν λόγω σημείο, έτσι # rarr 0 #, σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να εξετάσουμε τι συμβαίνει # x = 0 #, Έτσι έχουμε το ασήμαντο αποτέλεσμα:

(1 / x) / (sin (1 / χ)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Για λόγους σαφήνειας ένα γράφημα της συνάρτησης για την απεικόνιση της συμπεριφοράς γύρω # x = 0 #

γράφημα {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Θα πρέπει να καταστεί σαφές ότι η λειτουργία # y = sin (1 / x) / sin (1 / χ) # είναι απροσδιόριστο σε # x = 0 #

Απάντηση:

Παρακαλούμε δείτε παρακάτω.

Εξήγηση:

Οι ορισμοί του ορίου μιας συνάρτησης που χρησιμοποιώ είναι ισοδύναμοι με:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # αν και μόνο του Για κάθε θετικό #έψιλο#, υπάρχει μια θετική #δέλτα# έτσι ώστε για κάθε #Χ#, αν # 0 <abs (χ-α) <δέλτα # έπειτα #abs (f (x) - L) <epsilon #

Λόγω της σημασίας του "#abs (f (x) - L) <epsilon #", αυτό απαιτεί για όλους #Χ# με # 0 <abs (χ-α) <δέλτα #, # f (x) # ορίζεται.

Δηλαδή, για τις απαιτούμενες #δέλτα#, όλα # (α-δέλτα, α + δέλτα) # εκτός από πιθανώς #ένα#, βρίσκεται στον τομέα της #φά#.

Όλα αυτά μας παίρνουν:

#lim_ (xrarra) f (x) # υπάρχει μόνο αν #φά# ορίζεται σε ορισμένα ανοικτά διαστήματα που περιέχουν #ένα#, εκτός ίσως από #ένα#.

(#φά# πρέπει να οριστεί σε κάποια διαγραμμένη ανοιχτή γειτονιά του #ένα#)

Επομένως, #lim_ (xrarr0) αμαρτία (1 / x) / sin (1 / x) # δεν υπάρχει.

Ένα σχεδόν ασήμαντο παράδειγμα

# f (x) = 1 # Για #Χ# ένα παράλογο πραγματικό (απροσδιόριστο για λόγους λογικής)

#lim_ (xrarr0) f (x) # δεν υπάρχει.