Ποια είναι η αξία του; lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Απάντηση:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Εξήγηση:

Ψάχνουμε:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής #rarr 0 # όπως και # rarr 0 #. το όριο #ΜΕΓΑΛΟ# (αν υπάρχει) είναι απροσδιόριστης μορφής #0/0#, και ως εκ τούτου, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα της L'Hôpital για να πάρουμε:

(D / dx sin (x ^ 2)) # L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^

(d / dx sin (x ^ 2)) # # lim_ (x rarr 0)

Τώρα, χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

Και,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

Και έτσι:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Και πάλι αυτό είναι απροσδιόριστης μορφής #0/0#, και ως εκ τούτου, μπορούμε να εφαρμόσουμε ξανά τον κανόνα του L'Hôpital για να πάρουμε:

(D / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

(x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Ποιο, μπορούμε να αξιολογήσουμε:

# L = (0) / (2-0) = 0 #