Τι είναι τα τοπικά άκρα;

Απάντηση:

Σημεία σχετικά με κάποια λειτουργία όπου εμφανίζεται μια τοπική μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. Για μια συνεχή λειτουργία σε όλο το πεδίο, αυτά τα σημεία υπάρχουν εκεί όπου βρίσκεται η κλίση της λειτουργίας #=0# (δηλαδή το πρώτο παράγωγο είναι ίσο με 0).

Εξήγηση:

Εξετάστε κάποια συνεχή λειτουργία # f (x) #

Η κλίση του # f (x) # είναι ίσο με το μηδέν # f '(x) = 0 # σε κάποιο σημείο # (a, f (a)) #. Επειτα #φά)# θα είναι τοπική ακραία τιμή (μέγιστη ή ελάχιστη) # f (x) #

Ν.Β. Τα απόλυτα ακρότατα είναι ένα υποσύνολο των τοπικών ακραίων. Αυτά είναι τα σημεία όπου #φά)# είναι η ακραία αξία του # f (x) # σε ολόκληρο τον τομέα.

Ποια είναι τα τοπικά άκρα, εάν υπάρχουν, του f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x;

F (x) = 2in (x ^ 2 + 3) -x έχει ένα τοπικό ελάχιστο για x = 1 και ένα τοπικό μέγιστο για x = 3 Έχουμε: f (x) (x) = ((4x) / (x ^ 2 + 3)), η συνάρτηση ορίζεται σε όλα τα RR ως x ^ 2 + 3> 0 AA x. 1 = - (χ ^ 2-4χ + 3) / (χ ^ 2 + 3) - (χ ^ 2-4χ + 3) / (χ ^ 2 + 3) = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 έτσι τα κρίσιμα σημεία είναι: x_1 = 1 και x_2 = 3 Δεδομένου ότι ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός, το σημείο του f '(x) ο αριθμητής (x ^ 2-4x + 3) Τώρα γνωρίζουμε ότι ένα πολυώνυμο δεύτερης τάξης με θετικό κύριο συντελεστή είναι θετικό έξω από το διάστημα που περιλαμβάνεται μεταξύ των ριζών και αρνητικό στο διάστημα μεταξύ των ριζών,

Ποια είναι τα τοπικά άκρα, εάν υπάρχουν, του f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3;

Το τοπικό μέγιστο των 80 (σε x = -1) και το τοπικό ελάχιστο των -80 (σε x = 1 .f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3f '(x) = 600x ^ 4-600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2-1) Οι κρίσιμοι αριθμοί είναι: -1, 0 και 1 Το σημάδι του f 'αλλάζει από + σε - καθώς περνάμε x = -1, έτσι f (-1) = 80 είναι τοπικό μέγιστο . Από το f είναι περίεργο, μπορούμε αμέσως να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι το f (1) = - 80 είναι ένα σχετικό ελάχιστο και το f (0) δεν είναι ένα τοπικό άκρο.) Το σύμβολο του f 'δεν αλλάζει καθώς περάσαμε x = 0, οπότε το f (0) δεν είναι ένα τοπικό άκρο. Το σημάδι του f 'αλλάζει από - σε + καθώς περνάμε x = 1, έτσι f (1) =

Ποια είναι τα τοπικά άκρα, εάν υπάρχουν, του f (x) = 2x + 15x ^ (2/15);

Τοπικό μέγιστο των 13 στο 1 και τοπικό ελάχιστο του 0 στο 0. Τομέας f είναι RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 στο x = -1 και το f' (x) δεν υπάρχει στο x = 0. Τόσο το -1 όσο και το 9 βρίσκονται στην περιοχή του f, έτσι είναι και οι δύο κρίσιμοι αριθμοί. Πρώτη δοκιμή παραγώγων: Σε (-ο, -1), f '(x)> 0 (για παράδειγμα σε x = -2 ^ 15) Στις (-1,0), f' (x) x = -1 / 2 ^ 15) Επομένως το f (-1) = 13 είναι ένα τοπικό μέγιστο. Στις (0, oo), f '(x)> 0 (χρησιμοποιήστε οποιοδήποτε μεγάλο θετικό x) Έτσι f (0) = 0 είναι ένα τοπικό ελάχιστο.