Ερώτηση # bfe81

Απάντηση:

(ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ + χ ^ 4/3-χ ^ 6/4 … #

Εξήγηση:

Γνωρίζουμε την ακόλουθη σειρά Maclaurin για # n (x + 1) #:

(n + 1) / nx ^ n = x-x ^ 2/2 + x ^ 3/3 … #

Μπορούμε να βρούμε μια σειρά για # n (x ^ 2 + 1) # αντικαθιστώντας όλες τις #Χ#με το # x ^ 2 #:

(n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n #

Τώρα μπορούμε να χωρίσουμε απλά # x ^ 2 # για να βρείτε τη σειρά που αναζητάμε:

(n + 1) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1) ^ oo (-1)

(n + 1) / n * x ^ (2n) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1)) / nx ^ (2n-2) = #

(2 * 2-2) / 2 + x ^ (3 * 2-2) / 3-x ^ (4 * 2-2) / 4 … =

# = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

η οποία είναι η σειρά που αναζητούσαμε.