Αποδείξτε το sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (ictan (b / a)) = a +

Απάντηση:

Στην Επεξήγηση

Εξήγηση:

Σε ένα κανονικό επίπεδο συντεταγμένων, έχουμε συντεταγμένες όπως (1,2) και (3,4) και τέτοια πράγματα. Μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτές τις συντεταγμένες σε όρους ακτίνων και γωνιών. Έτσι, αν έχουμε το σημείο (a, b) αυτό σημαίνει ότι πηγαίνουμε μονάδες προς τα δεξιά, b μονάδες επάνω και #sqrt (α ^ 2 + b ^ 2) # ως απόσταση μεταξύ της προέλευσης και του σημείου (a, b). θα καλέσω #sqrt (α ^ 2 + b ^ 2) = r #

Έτσι έχουμε # re ^ arctan (b / a) #

Τώρα για να ολοκληρώσετε αυτή την απόδειξη, ας θυμηθούμε μια φόρμουλα.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Η λειτουργία του τόξου μου δίνει μια γωνία η οποία είναι και η θήτα.

Έχουμε λοιπόν την ακόλουθη εξίσωση:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)

Τώρα αφήνουμε να σχεδιάσουμε ένα σωστό τρίγωνο.

Το arctan του (b / a) μου λέει ότι το b είναι η αντίθετη πλευρά και το a είναι η παρακείμενη πλευρά. Έτσι, αν θέλω το cos του arctan (b / a), χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρούμε την hypotenuse. Η υποτείνουσα είναι #sqrt (α ^ 2 + b ^ 2) #. Έτσι το cos (arctan (b / a)) = γειτονικό πάνω από hypotenuse = # a / sqrt (α ^ 2 + b ^ 2) #.

Το καλύτερο μέρος γι 'αυτό είναι το γεγονός ότι αυτή η ίδια αρχή ισχύει και για το ημίτονο. Επομένως, η αμαρτία (arctan (b / a)) = αντίθετη από την hypotenuse = # b / sqrt (α ^ 2 + b ^ 2) #.

Έτσι τώρα μπορούμε να επαναλάβουμε την απάντησή μας ως εξής: (a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2).

Αλλά θυμίσου #r = sqrt (α ^ 2 + b ^ 2) # έτσι τώρα έχουμε: # r * ((a / r) + (bi / r)) #. Τα r ακυρώνουν και μένετε με τα εξής: # a + bi #

Επομένως, # (re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #