Ερώτηση # 69feb

Απάντηση:

Κανονική γραμμή: # y = (χ-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Εφαπτόμενη γραμμή: # y = e ^ 2 -e ^ 2 #.

Εξήγηση:

Για διαίσθηση: Φανταστείτε ότι η λειτουργία # f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # περιγράφει το ύψος κάποιου εδάφους, όπου #Χ# και # y # είναι συντεταγμένες στο επίπεδο και # n (y) # υποτίθεται ότι είναι ο φυσικός λογάριθμος. Τότε όλα # (x, y) # έτσι ώστε # f (x, y) = α # (το ύψος) είναι ίσο με κάποιο σταθερό #ένα# ονομάζονται καμπύλες επιπέδων. Στην περίπτωσή μας το σταθερό ύψος #ένα# είναι μηδέν, δεδομένου ότι # f (x, y) = 0 #.

Ίσως να είστε εξοικειωμένοι με τοπογραφικούς χάρτες, στους οποίους οι κλειστές γραμμές υποδεικνύουν γραμμές ίσου ύψους.

Τώρα η κλίση (x, y) = ((μερική f) / (μερική x), (μερική f) / (μερική x)) = (e ^ x ln (y) # # μας δίνει την κατεύθυνση σε ένα σημείο # (x, y) # στο οποίο # f (x, y) # (το ύψος) αλλάζει το γρηγορότερο. Αυτό είναι είτε κατ 'ευθείαν είτε κατ' ευθείαν κάτω από το λόφο, όσο το έδαφος είναι ομαλό (διαφοροποιούμενο), και δεν βρισκόμαστε σε μια κορυφή, σε ένα κάτω μέρος ή σε ένα οροπέδιο (ένα άκρο). Αυτή είναι στην πραγματικότητα η κανονική κατεύθυνση σε μια καμπύλη σταθερού ύψους, έτσι ώστε σε # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

(2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^.

Επομένως, ο κανονική γραμμή προς αυτή την κατεύθυνση # (2, e ^ 2) # μπορεί να περιγραφεί ως

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1), όπου #s στο mathbbR # είναι μια πραγματική παράμετρος. Μπορείτε να εξαλείψετε #μικρό# να εκφράσουν # y # ως συνάρτηση του #Χ# αν προτιμάτε, να βρείτε

# y = (χ-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Το κατευθυντικό παράγωγο στην εφαπτομένη κατεύθυνση πρέπει να είναι #0# (που σημαίνει ότι το ύψος δεν αλλάζει), έτσι ένα εφαπτομενικό διάνυσμα # (u, v) # πρέπει να ικανοποιήσει

#gr f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, όπου # cdot # το προϊόν κουκκίδων. Έτσι # (u, v) = (1, e ^ 2) # είναι μια έγκυρη επιλογή. Επομένως, ο εφαπτόμενη γραμμή διέρχεται # (2, e ^ 2) # μπορεί να περιγραφεί ως

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t στο mathbbR #.

Επίλυση για # y # το δίνει

# y = e ^ 2 -e ^ 2 #.

Πρέπει τελικά να το ελέγξετε # (2, e ^ 2) # βρίσκεται στην καμπύλη # f (x, y) #, στην εφαπτομένη γραμμή και στην κανονική γραμμή.