Δοκιμάστε f για κοίλωμα;

Απάντηση:

#φά# είναι κυρτό # RR #

Εξήγηση:

Το λύνω νομίζω.

#φά# είναι 2 φορές διαφοροποιήσιμο σε # RR # Έτσι #φά# και #φά'# είναι συνεχείς # RR #

Εχουμε (x) = 3 + 3f '(x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Διαφοροποιούμε και τα δύο μέρη που έχουμε

(X) = 2f '' (x) + 3f '' (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

(X) (f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• # f '(x) ^ 2> = 0 # Έτσι # f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)

Χρειαζόμαστε το σύμβολο του αριθμητή για να εξετάσουμε μια νέα λειτουργία

#g (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , #Χ##σε## RR #

#g '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Το παρατηρούμε #g '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

Για # x = π # #=># #g '(π) = e ^ π-cosp + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Για # x = -π # #g '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <

Τελικά έχουμε αυτό το τραπέζι που δείχνει τη μονοτονία του #σολ#

Υποτιθεμένος # I_1 = (- oo, 0 # και # I_2 = 0, + oo) #

= g (0, 0)) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3,

= g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)

επειδή

• (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# e + x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx < #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Χρησιμοποιώντας το θεώρημα συμπίεσης / σάντουιτς έχουμε

(xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo)

Επομένως, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2)

Με την ίδια διαδικασία καταλήγουμε

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Ωστόσο, (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^

Επομένως, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Το εύρος του #σολ# θα είναι:

# R_g = g (D_g) = g (Ι_1) uug (I2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # Έτσι #σολ# δεν έχει καθόλου ρίζες # RR #

  #σολ# είναι συνεχής σε # RR # και δεν έχει λύσεις. Επομένως, #σολ# διατηρεί τη σύνδεση # RR #

Αυτό σημαίνει

(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR)

Ετσι, = (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2>

Σαν άποτέλεσμα # g (x)> 0 #, #Χ##σε## RR #

Και # f '' (x)> 0 #, #Χ##σε## RR #

#-># #φά# είναι κυρτό # RR #

Απάντηση:

Δες παρακάτω.

Εξήγηση:

Δεδομένος # y = f (x) # η ακτίνα καμπυλότητας της καμπύλης δίνεται από

# rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') έτσι δίνεται

(f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 # έχουμε

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # ή

# f '(1+ (f') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) ή

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + ή

(1) (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 + 3x ^ 3-sinx + 2) #

τώρα αναλύοντας #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # έχουμε

# min g (x) = 0 # Για # x σε RR # Έτσι # g (x) ge 0 # και έπειτα η καμπυλότητα στο

# rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + δεν αλλάζει το σημάδι και έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα αυτό # f (x) # επιγραφή είναι κυρτή # RR #