Η περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη y = 3 + 2x-x ^ 2 και η γραμμή y = 3 περιστρέφεται εντελώς γύρω από τη γραμμή y = 3. Βρείτε τον όγκο του στερεού της περιστροφής που λαμβάνετε;

Απάντηση:

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

Η περιοχή είναι η λύση αυτού του συστήματος:

(y> = 3): # # (y <= - x ^ 2 + 2x + 3)

Και σκιαγραφείται σε αυτό το οικόπεδο:

Ο τύπος για τον όγκο ενός στερεού περιστροφής του άξονα x είναι:

# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.

Για να εφαρμόσουμε τον τύπο θα πρέπει να μεταφράσουμε το μισό φεγγάρι στον άξονα x, η περιοχή δεν θα αλλάξει και έτσι δεν θα αλλάξει και ο όγκος:

# y = -x ^ 2 + 2x + 3color (κόκκινο) (- 3) = - x ^ 2 +

# y = 3color (κόκκινο) (- 3) = 0 #

Με αυτόν τον τρόπο αποκτάμε # f (z) = - z ^ 2 + 2z #.

Η μεταφρασμένη περιοχή έχει γραφτεί εδώ:

Αλλά ποια είναι τα α και β του ολοκλήρου; Οι λύσεις του συστήματος:

# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #

Έτσι # a = 0 και b = 2 #.

Ας ξαναγράψουμε και λύσουμε το ολοκλήρωμα:

# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #

# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #

# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3)

# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3)

(4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3)

# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #

# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

Και αυτό το "λεμόνι" είναι το στερεό που λαμβάνεται: