Η ρύπανση σε κανονική ατμόσφαιρα είναι μικρότερη από 0,01%. Λόγω διαρροής αερίου από εργοστάσιο, η ρύπανση αυξάνεται στο 20%. Αν το 80% της ρύπανσης εξουδετερωθεί, σε πόσες ημέρες η ατμόσφαιρα θα είναι φυσιολογική (log_2 = 0.3010);

Απάντηση:

# n (0.0005) / Ιη (0.2) ~ = 4.72 # μέρες

Εξήγηση:

Το ποσοστό ρύπανσης είναι στο #20%#, και θέλουμε να υπολογίσουμε πόσο καιρό χρειάζεται για να πέσει #0.01%# αν η ρύπανση μειωθεί κατά #80%# κάθε μέρα.

Αυτό σημαίνει ότι κάθε μέρα πολλαπλασιάζουμε το ποσοστό ρύπανσης #0.2# (#100%-80%=20%)#. Εάν το κάνουμε για δύο ημέρες, θα είναι το ποσοστό πολλαπλασιασμένο με #0.2#, πολλαπλασιασμένο επί #0.2# πάλι, το οποίο είναι το ίδιο με το πολλαπλασιασμό με #0.2^2#. Μπορούμε να πούμε ότι αν το κάνουμε αυτό # n # ημέρες, θα πολλαπλασιάσαμε # 0.2 ^ n #.

#0.2# είναι η αρχική ποσότητα ρύπανσης και #0.0001# (#0.01%# σε δεκαδική) είναι το ποσό που θέλουμε να φτάσουμε. Αναρωτιόμαστε πόσες φορές πρέπει να πολλαπλασιάσουμε #0.2# για να φτάσουμε εκεί. Μπορούμε να το εκφράσουμε με την ακόλουθη εξίσωση:

# 0,2 * 0,2 ^ n = 0,0001 #

Για να την λύσουμε, πρώτα θα διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές #0.2#:

# (ακυρώστε0.2 * 0.2 ^ n) /cancel0.2=0.0001/0.2#

# 0.2 ^ n = 0.0001 / 0.2 = 0.0005 #

Τώρα μπορούμε να πάρουμε έναν λογάριθμο και από τις δύο πλευρές. Ποιος λογάριθμος χρησιμοποιούμε δεν έχει σημασία, είμαστε αμέσως μετά τις ιδιότητες λογαρίθμου. Πάω να επιλέξω τον φυσικό λογάριθμο, δεδομένου ότι είναι παρών στους περισσότερους υπολογιστές.

# n (0.2 ^ n) = ln (0.0005) #

Από #log_x (α ^ β) = blog_x (α) # μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση:

# nln (0.2) = ln (0.0005) #

Αν διαιρούμε και τις δύο πλευρές, παίρνουμε:

# n = ln (0.0005) / ln (0.2) ~ = 4.72 #