Πώς ενσωματώνετε int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) χρησιμοποιώντας μερικά κλάσματα;

Απάντηση:

# 2η | 2χ-1 | -2η | χ | + 1 / χ + C #

Εξήγηση:

Πρέπει να βρούμε #ΑΛΦΑΒΗΤΟ# έτσι ώστε

# 1 / (χ ^ 2 (2χ-1)) = Α / χ + Β / χ ^ 2 +

για όλα #Χ#.

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές # x ^ 2 (2χ-1) # να πάρω

# 1 = Άξονας (2χ-1) + Β (2χ-1) + Cx ^ 2 #

# 1 = 2Αx ^ 2-άξονα + 2Βχ-Β + Cx ^ 2 #

# 1 = (2Α + C) χ ^ 2 + (2Β-Α) χ-Β #

Οι συντελεστές εξισορρόπησης μας δίνουν

(2A + C = 0), (2Β-Α = 0), (- Β = 1)

Και έτσι έχουμε # Α = -2, Β = -1, C = 4 #. Αντικαθιστώντας αυτό στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε

# 1 / (χ ^ 2 (2χ-1)) = 4 / (2χ-1) -2 / χ-1 /

Τώρα, ενσωματώστε το όρο από τον όρο

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 x dx-int

να πάρω

# 2η | 2χ-1 | -2η | χ | + 1 / χ + C #

Απάντηση:

Η απάντηση είναι # = 1 / x-2ln (| x |) + 2in (| 2x-1 |) + C #

Εξήγηση:

Εκτελέστε την αποσύνθεση σε μερικά κλάσματα

# 1 / (χ ^ 2 (2χ-1)) = Α / χ ^ 2 + Β / χ +

= (Α (2χ-1) + Βχ (2χ-1) + C (x ^ 2)

Οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, συγκρίνετε τους αριθμητές

# 1 = Α (2χ-1) + Βχ (2χ-1) + C (χ ^ 2) #

Αφήνω # x = 0 #, #=>#, # 1 = -Α #, #=>#, # A = -1 #

Αφήνω # x = 1/2 #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C = 4 #

Συντελεστές του # x ^ 2 #

# 0 = 2Β + C #

# Β = -C / 2 = -4 / 2 = -2 #

Επομένως, # 1 / (χ ^ 2 (2χ-1)) = - 1 / χ ^ 2-2 / χ + 4 /

Ετσι, (2dx) / x + int (4dx) / (2x-1) = - int (1dx) / x ^

# = 1 / x-2ln (| x |) + 2in (| 2x-1 |) + C #