Πώς βρίσκετε την διωνυμική επέκταση για (2x + 3) ^ 3;

Απάντηση:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Εξήγηση:

Με το τρίγωνο του Pascal, είναι εύκολο να βρείτε κάθε διωνυμική επέκταση:

Κάθε όρος, αυτού του τριγώνου, είναι το αποτέλεσμα του συνόλου των δύο όρων στην κορυφή. (παράδειγμα με κόκκινο χρώμα)

#1#

#1. 1#

#color (μπλε) (1. 2. 1) #

# 1. χρώμα (κόκκινο) 3. χρώμα (κόκκινο) 3. 1 #

# 1. 4. χρώμα (κόκκινο) 6. 4. 1 #

…

Επιπλέον, κάθε γραμμή έχει τις πληροφορίες μιας διωνυμικής επέκτασης:

Η 1η γραμμή, για την εξουσία #0#

Το 2ο, για την εξουσία #1#

Ο 3ος, για την εξουσία #2#…

Για παράδειγμα: # (α + β) ^ 2 # θα χρησιμοποιήσουμε την 3η γραμμή μπλε μετά από αυτή την επέκταση:

# (a + b) ^ 2 = χρώμα (μπλε) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + # #

Επειτα: # (α + β) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Για την εξουσία #3#:

# (a + b) ^ 3 = χρώμα (πράσινο) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + χρώμα (πράσινο) 3 * a ^ 2 * b ^ + χρώμα (πράσινο) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Επειτα # (α + β) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Έτσι έχουμε εδώ #color (κόκκινο) (a = 2x) # και #color (μπλε) (b = 3) #:

Και (2 φορές) 3 = χρώμα (κόκκινο) ((2x)) ^ 3 + 3 * χρώμα (κόκκινο))) * χρώμα (μπλε) 3 ^ 2 + χρώμα (μπλε) 3 ^ 3 #

Επομένως: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Απάντηση:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Εξήγηση:

# (2χ + 3) ^ 3 #

Χρησιμοποιήστε τον κύβο μιας μεθόδου αθροίσματος, στην οποία # (α + β) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

# a = 2x · # # b = 3 #

(2 * 3 * 2) + 3 * 3 (3 * 2 * 3 * 3) =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2χ) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #