Απάντηση:
Εξήγηση:
Η διωνυμική επέκταση σειράς για
Έτσι, έχουμε:
Πώς βρίσκετε την διωνυμική επέκταση για (2x + 3) ^ 3;
(2 + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 Με το τρίγωνο του Pascal είναι εύκολο να βρούμε κάθε διωνυμική επέκταση: Κάθε όρος αυτού του τριγώνου είναι το αποτέλεσμα του συνόλου των δύο όρων η πάνω σειρά. (παράδειγμα με κόκκινο χρώμα) 1 1. 1 χρώμα (μπλε) (1. 2. 1) 1. χρώμα (κόκκινο) 3. χρώμα (κόκκινο) 3. 1 1. 4. χρώμα (κόκκινο) 6. 4. 1 ... Περισσότερα, κάθε γραμμή έχει τις πληροφορίες μιας διωνυμικής επέκτασης: Η πρώτη γραμμή, για την ισχύ 0 Η 2η, για την ισχύ 1 Η 3η, για την ισχύ 2 ... Για παράδειγμα: (a + b ) ^ 2 θα χρησιμοποιήσουμε την 3η γραμμή σε μπλε χρώμα μετά από αυτή την επέκταση: (a + b) ^ 2 = χρώμα (μπλε) 1 * a ^
Πώς χρησιμοποιείτε τη διωνυμική σειρά για να επεκτείνετε το sqrt (1 + x);
(1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = άθροισμα (1 // 2) _k / (k!) x ^ k με x στο CC Χρησιμοποιήστε τη γενίκευση του διωνυμικού τύπου σε πολύπλοκες αριθμούς. Υπάρχει μια γενίκευση της διωνυμικής φόρμουλας στους σύνθετους αριθμούς. Ο γενικός τύπος διωνυμικής σειράς φαίνεται να είναι (1 + z) ^ r = άθροισμα ((r) _k) / (k!) Z ^ k με (r) _k = r (r-1). . (r-k + 1) (σύμφωνα με τη Wikipedia). Ας το εφαρμόσουμε στην έκφρασή σας. Αυτή είναι μια σειρά δύναμης τόσο προφανώς, αν θέλουμε να έχουμε πιθανότητες ότι αυτό δεν αποκλίνει, πρέπει να θέσουμε absx <1 και έτσι αναπτύσσεται το sqrt (1 + x) με την διωνυμική σειρά. Δεν πρόκειται να αποδείξω
Πώς χρησιμοποιείτε τη διωνυμική σειρά για να επεκτείνετε το sqrt (z ^ 2-1);
Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2-1 / 8z ^ 4-1 / 16z ^ 6 + ...] (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx για τα μικρά x έτσι είμαι λίγο σκουριασμένος. Η διωνυμική σειρά είναι μια εξειδικευμένη περίπτωση του διωνυμικού θεωρήματος που δηλώνει ότι (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), k) (k-1)) / (k!) Αυτό που έχουμε είναι (z ^ 2-1) ^ (1/2) , αυτή δεν είναι η σωστή μορφή. Για να το διορθώσουμε υπενθυμίζουμε ότι i ^ 2 = -1 έτσι έχουμε: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1 -z ^ 2) είναι τώρα στη σωστή μορφή με x = -z ^ 2 Επομένως, η επέκταση θα είναι: i [1-1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 + ...] i [1-1 / 2z ^ 2-1 /