Ποια είναι η περιοχή μιας τετραγωνικής συνάρτησης;

Απάντηση:

Το εύρος του # f (x) = ax ^ 2 + bx + c # είναι:

(a-0,), ((-ο, ο-β ^ 2 / (4α)) "αν" α <

Εξήγηση:

Δεδομένης της τετραγωνικής λειτουργίας:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # με #a! = 0 #

Μπορούμε να ολοκληρώσουμε την πλατεία για να βρούμε:

= (x + b / (2a)) ^ 2 + (c-b ^ 2 / (4a)

Για πραγματικές τιμές #Χ# τον τετραγωνικό όρο # (χ + β / (2α)) ^ 2 # είναι μη αρνητική, λαμβάνοντας την ελάχιστη αξία της #0# πότε # x = -b / (2a) #.

Επειτα:

# f (-b / (2a)) = c-b ^ 2 / (4a) #

Αν # a> 0 # τότε αυτή είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή # f (x) # και το εύρος των # f (x) # είναι # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Αν #a <0 # τότε αυτή είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του # f (x) # και το εύρος των # f (x) # είναι # (-οο, ο-β ^ 2 / (4α) #

Ένας άλλος τρόπος να εξετάσουμε αυτό είναι να αφήσουμε # y = f (x) # και να δούμε αν υπάρχει λύση για #Χ# από την άποψη του # y #.

Δεδομένος:

# y = ax ^ 2 + bx + c #

Αφαιρώ # y # από τις δύο πλευρές για να βρείτε:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Το διακριτικό #Δέλτα# της τετραγωνικής αυτής εξίσωσης είναι:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Προκειμένου να έχουμε πραγματικές λύσεις, απαιτούμε #Delta> = 0 # και έτσι:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Προσθέτω # 4ac-b ^ 2 # και στις δύο πλευρές για να βρείτε:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Αν # a> 0 # τότε μπορούμε απλά να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές # 4a # να πάρω:

# y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Αν #a <0 # τότε μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές # 4a # και αντιστρέψτε την ανισότητα για να πάρετε:

# y <= c-b ^ 2 / (4a) #