Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα 7 + τετραγωνικής ρίζας 7 ^ 2 + τετραγωνικής ρίζας 7 ^ 3 + τετραγωνικής ρίζας 7 ^ 4 + τετραγωνικής ρίζας 7 ^ 5?

#sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt

Το πρώτο πράγμα που μπορούμε να κάνουμε είναι να ακυρώσουμε τις ρίζες σε εκείνες με τις ομοιόμορφες δυνάμεις. Από:

#sqrt (x ^ 2) = x # και #sqrt (x ^ 4) = x ^ 2 # για οποιοδήποτε αριθμό, μπορούμε απλώς να το πούμε

(7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = #

# sqrt (7) + 7 + sqrt (7 ^ 3) + 49 + sqrt (7 ^ 5) #

Τώρα, #7^3# μπορεί να ξαναγραφεί ως #7^2*7#, και αυτό #7^2# μπορεί να βγει από τη ρίζα! Το ίδιο ισχύει για #7^5# αλλά ξαναγράφεται ως #7^4*7#

(7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = #

# sqrt (7) + 7 + 7sqrt (7) + 49 + 49sqrt (7) #

Τώρα βάζουμε τη ρίζα σε στοιχεία, (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = #

# (1 + 7 + 49) sqrt (7) + 7 + 49 #

Και αθροίστε τους αριθμούς που αφήνονται στο άθροισμα

(7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = 56 + 57sqrt (7) #

Υπάρχει ένας τρόπος να βρούμε τη γενική φόρμουλα για αυτά τα ποσά χρησιμοποιώντας γεωμετρικές προόδους, αλλά δεν πρόκειται να το βάλω εδώ επειδή δεν είμαι σίγουρος αν το έχετε πάρει και δεν το κάνετε πολύ.