Οι ακτίνες των δύο ομόκεντρων κύκλων είναι 16 cm και 10 cm. Το AB είναι μια διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου. Το BD είναι εφαπτόμενο στον μικρότερο κύκλο που το αγγίζει στο D. Ποιο είναι το μήκος του AD;

Απάντηση:

#bar (AD) = 23.5797 #

Εξήγηση:

Υιοθέτηση της προέλευσης #(0,0)# ως το κοινό κέντρο για # C_i # και # C_e # και καλώντας # r_i = 10 # και # r_e = 16 # το σημείο επαφής # p_0 = (x_0, y_0) # βρίσκεται στη διασταύρωση #C_i nn C_0 # όπου

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

εδώ # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Επίλυση για #C_i nn C_0 # έχουμε

(x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2): #

Αφαίρεση της πρώτης από τη δεύτερη εξίσωση

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # Έτσι

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # και # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Τέλος η αναζητούμενη απόσταση είναι

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

ή

#bar (AD) = 23.5797 #

Εξήγηση:

Αν #bar (BD) # είναι εφαπτόμενη # C_i # έπειτα #hat (ODB) = pi / 2 # έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε τον πυθαγόρα:

#bar (OD) ^ 2 + ράβδος (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # καθορίζοντας # r_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Το σημείο #ΡΕ# συντεταγμένες, που ονομάζεται # (x_0, y_0) # πρέπει να ληφθεί πριν από τον υπολογισμό της επιθυμητής απόστασης #bar (AD) #

Υπάρχουν πολλοί τρόποι να το κάνετε αυτό. Μια εναλλακτική μέθοδος είναι

# y_0 = γραμμή (BD) αμαρτία (καπέλο (OBD)) # αλλά #sin (καπέλο (OBD)) = γραμμή (OD) / bar (OB) #

έπειτα

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # και

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Όπως προκύπτει από τα δεδομένα, το παραπάνω σχήμα έχει σχεδιαστεί.

Το Ο είναι το κοινό κέντρο δύο ομόκεντρων κύκλων

#AB -> "διάμετρος του μεγαλύτερου κύκλου" #

# AO = OB -> "ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου" = 16 cm #

#DO -> "ακτίνα μικρότερου κύκλου" = 10cm #

#BD -> "εφαπτομένη στον μικρότερο κύκλο" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Αφήνω # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-θήτα) #

Σε #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Εφαρμογή του συνημμένου νόμου στο #Delta ADO # παίρνουμε

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-θήτα) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB)

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23,58cm #