Πώς μπορώ να λύσω αυτό το όριο;

Απάντηση:

# e ^ α * (α / 2) * (1 - α) #

Εξήγηση:

# "Θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε τη σειρά Taylor και να ρίξετε τους όρους ανώτερης τάξης στο" # # "όριο για" x-> 0 "." #

# x ^ y = exp (y * ln (x)) #

= (1 + x) ^ y = exp (y * ln (1 + x)) #

# "και" ln (1 + x) = x - x ^ 2/2 + x ^ 3 /

# "και" exp (x) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 /

#"Ετσι"#

#exp (y * ln (1 + x)) = exp (y * (x - x ^ 2/2 +

= (1 + x) ^ (a / x) = exp ((a / x) * ln

# = exp ((a / x) * (x - x ^ 2/2 + x ^ 3/3 - …)

# = exp (α - α * χ / 2 + α * χ ^ 2/3 - …) #

(1 / x) = ln (1 + ax)) # (1 + x)

# = exp ((1 / x) * (ax - (ax) ^ 2/2 + (ax) ^ 3 /

# = exp (a - a ^ 2 * x / 2 + α ^ 3 * x ^ 2/3 - …)

(1 / x) - (1 + x) ^ (a / x) #

(a - a * x / 2 + …) - exp (a - a * x / 2 + …)

(a) / exp (α ^ 2 * x / 2) - exp (α) / exp (a * x / 2)

= exp (α) (exp (-α ^ 2 * x / 2) - exp (-a * x / 2)

# ~~ exp (α) (1 - α ^ 2 * x / 2 - 1 + a * x / 2) #

# = exp (α) ((χ / 2) (α - α ^ 2)) #

# => ((1 + ax) ^ (1 / x) - (1 + χ) ^ (a / x)

# ~~ exp (α) ((1/2) (α - α ^ 2)) #

# = e ^ α * (α / 2) * (1 - α) #