Αν κυλίνεις ένα μοναδικό καρφί, ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός ρολών που χρειάζεται για να κυλήσεις κάθε αριθμό μία φορά;

Απάντηση:

# 14.7 "ρολά" #

Εξήγηση:

#P "όλοι οι αριθμοί που ρίχνονται" = 1 - P "1,2,3,4,5 ή 6 δεν ρίχνονται" #

# P "A ή B ή C ή D ή E ή F" = P A + P B + … + P F - #

#P Α και Β - P A και C …. + P A και B και C + … #

# "Εδώ αυτό είναι" #

(4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

# Ρ = Ρ_1 (η) - Ρ_1 (η-1) #

(5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

(N-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (η-1) -5 * (1/6) ^ (η-1) #

# "Το αρνητικό από αυτό είναι η πιθανότητά μας." #

(n = 1) = άθροισμα (d / {da}) (a ^ n) #

= (d / {da}) άθροισμα a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 /

# => E n = άθροισμα n * P "όλοι οι αριθμοί που ρίχνονται μετά από n throws" #

# = άθροισμα n * ((5/6) ^ (n-1) -5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Πρέπει να αφαιρέσουμε ένα λόγω της συνθήκης έναρξης P_1 (0)" #

# "δίνει μια ελαττωματική τιμή P = 1 για n = 1." #

# => Ρ = 15,7 - 1 = 14,7 #

Απάντηση:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Εξήγηση:

Σκεφτείτε το σαν έξι μίνι παιχνίδια. Για κάθε παιχνίδι, κυλίνουμε το πεθαίνουν μέχρι να πετύχουμε έναν αριθμό που δεν έχει ακόμα κυλιστεί - αυτό που θα ονομάσουμε "νίκη". Στη συνέχεια ξεκινάμε το επόμενο παιχνίδι.

Αφήνω #Χ# είναι ο αριθμός των ρολών που χρειάζονται για να κυλήσουν κάθε αριθμό τουλάχιστον μία φορά (δηλ. να κερδίσετε και τα 6 μίνι παιχνίδια), και αφήστε # X_i # είναι ο αριθμός των ρολών που χρειάζονται για να "κερδίσει" τον αριθμό του μίνι-παιχνιδιού #Εγώ# (Για #Εγώ# από 1 έως 6). Τότε κάθε # X_i # είναι μια γεωμετρική τυχαία μεταβλητή με κατανομή # "Γεω" (p_i) #.

Η αναμενόμενη τιμή κάθε γεωμετρικής τυχαίας μεταβλητής είναι # 1 / p_i #.

Για το πρώτο παιχνίδι, # p_1 = 6/6 # καθώς και τα 6 αποτελέσματα είναι "νέα". Ετσι, # "Ε" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Για το δεύτερο παιχνίδι, 5 από τα 6 αποτελέσματα είναι καινούργια # p_2 = 5/6 #. Ετσι, # "Ε" (Χ_2) = 6/5 = 1,2 #.

Για το τρίτο παιχνίδι, 4 από τα 6 πιθανά ρολά είναι καινούργια # p_3 = 4/6 #, δηλαδή # "Ε" (Χ_3) = 6/4 = 1,5 #.

Σε αυτό το σημείο, μπορούμε να δούμε ένα μοτίβο. Δεδομένου ότι ο αριθμός των "κερδίζοντας" κυλίνδρων μειώνεται κατά 1 για κάθε νέο παιχνίδι, η πιθανότητα "νίκης" κάθε παιχνιδιού μειώνεται από #6/6# προς το #5/6#, έπειτα #4/6#, κλπ., που σημαίνει ότι ο αναμενόμενος αριθμός ρολών ανά παιχνίδι πηγαίνει από #6/6# προς το #6/5#, προς το #6/4#, και ούτω καθεξής, μέχρι το τελευταίο παιχνίδι, όπου αναμένουμε ότι θα πάρει 6 ρολά για να πάρει τον τελευταίο αριθμό.

Ετσι:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

####################################################################################################### #

# Χρώμα (λευκό) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6 /

#color (λευκό) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (λευκό) ("E" (X)) = 14,7 #