Ας υποθέσουμε ότι ξεκινάτε ένα βλήμα σε αρκετά υψηλή ταχύτητα ώστε να μπορεί να χτυπήσει έναν στόχο σε απόσταση. Δεδομένου ότι η ταχύτητα είναι 34-m / s και η απόσταση της εμβέλειας είναι 73-m, ποια είναι δύο πιθανές γωνίες από τις οποίες μπορεί να εκτοξευθεί το βλήμα;

Απάντηση:

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

# alpha_2 ~ = 70,88 ° #.

Εξήγηση:

Η κίνηση είναι μια παραβολική κίνηση, δηλαδή η σύνθεση δύο κινήσεων:

η πρώτη, οριζόντια, είναι μια ομοιόμορφη κίνηση με νόμο:

# x = x_0 + v_ (0x) t #

και το δεύτερο είναι μια επιβραδυνόμενη κίνηση με νόμο:

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #,

όπου:

• # (x, y) # είναι η θέση εκείνη τη στιγμή # t #;
• # (x_0, y_0) # είναι η αρχική θέση.
• # (v_ (0x), v_ (0y)) # είναι τα συστατικά της αρχικής ταχύτητας, δηλαδή, για τους νόμους τριγωνομετρίας:

  #v_ (0x) = v_0cosalpha #

  #v_ (0y) = v_0sinalpha #

  (#άλφα# είναι η γωνία που σχηματίζει η ταχύτητα του φορέα με την οριζόντια).

• # t # είναι ώρα;
• #σολ# είναι επιτάχυνση βαρύτητας.

Για να πάρουμε την εξίσωση της κίνησης, μια παραβολή, πρέπει να λύσουμε το σύστημα μεταξύ των παραπάνω δύο εξισώσεων.

# x = x_0 + v_ (0x) t #

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #.

Ας βρούμε # t # από την πρώτη εξίσωση και ας υποκαταστήσουμε στο δεύτερο:

# t = (x-x_0) / v_ (0χ) #

(x-x_0) / v_ (0x) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / v_ (0x) ^ 2 # ή:

# y = y_0 + v_0sinalpha (x-x_0) / (v_0cosalpha) -1 / 2g * (χ-χ_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) ή

# y = y_0 + sinalpha (χ-χ_0) / cosalpha-1 / 2g * (χ-χ_0) ^ 2 /

Για να βρείτε το φάσμα που μπορούμε να υποθέσουμε:

# (x_0, y_0) # είναι η προέλευση #(0,0)#, και το σημείο στο οποίο πέφτει έχει συντεταγμένες: # (0, χ) # (#Χ# είναι το εύρος!), έτσι ώστε:

# 0 = 0 + sinalpha * (χ-0) / cosalpha-1 / 2g (χ-0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) rArr #

# x * sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) x ^ 2 = 0rArr #

# x (sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) x) = 0 #

# x = 0 # είναι μια λύση (το αρχικό σημείο!)

# x = (2sinalphacosalphav_0 ^ 2) / g = (v_0 ^ 2sin2alpha) / g #

(χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διπλής γωνίας του κόλπου).

Τώρα έχουμε το σωστά φόρμουλα για να απαντήσετε στην ερώτηση:

# sin2alpha = (x * g) / v_0 ^ 2 = (73 * 9.8) / 34 ^ 2 ~ = 0,6189rArr #

# 2alpha_1 ~ = arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 38,23 ° #

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

και (ο κόλπος έχει συμπληρωματικές λύσεις):

# 2alpha_2 ~ = 180 ° -τμήμα0,6189 + k360 ° ~ = 180 ° -38,23 ° ~ = 141,77 ° #

# alpha_2 ~ = 70,88 ° #.