Τι λέει ο 2ος Παράγωγος Έλεγχος για τη συμπεριφορά του f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 σε αυτούς τους κρίσιμους αριθμούς;

Απάντηση:

Η δεύτερη δοκιμή παραγώγων υποδηλώνει ότι ο κρίσιμος αριθμός (σημείο) # x = 4/7 # δίνει ένα τοπικό ελάχιστο για #φά# ενώ δεν λέει τίποτα σχετικά με τη φύση του #φά# στους κρίσιμους αριθμούς (σημεία) # x = 0,1 #.

Εξήγηση:

Αν # f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, τότε ο κανόνας προϊόντος λέει

(x-1) ^ 2 (x-1)

= x ^ 3 * (χ-1) ^ 2 * (4 (χ-1) + 3χ) #

= x ^ 3 * (χ-1) ^ 2 * (7χ-4) #

Ορίστε αυτό το μηδέν και λύστε το για #Χ# υπονοεί πως #φά# έχει κρίσιμους αριθμούς (σημεία) στο # x = 0,4 / 7,1 #.

Χρησιμοποιώντας τον Κανόνα Προϊόντος δίνει και πάλι:

(x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

= (3x ^ 2 * (χ-1) ^ 2 + χ ^ 3 * 2 (χ-1)) * (7x-4)

(x-1) * ((3χ-3 + 2χ) * (7χ-4) + 7χ ^ 2-7χ) #

# = x ^ 2 * (χ-1) * (42χ ^ 2-48χ + 12) #

# = 6x ^ 2 * (χ-1) * (7χ ^ 2-8χ + 2) #

Τώρα # f '' (0) = 0 #, # f '' (1) = 0 #, και # f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Επομένως, η δεύτερη δοκιμή παραγώγων συνεπάγεται ότι ο κρίσιμος αριθμός (σημείο) # x = 4/7 # δίνει ένα τοπικό ελάχιστο για #φά# ενώ δεν λέει τίποτα σχετικά με τη φύση του #φά# στους κρίσιμους αριθμούς (σημεία) # x = 0,1 #.

Στην πραγματικότητα, ο κρίσιμος αριθμός (σημείο) στο # x = 0 # δίνει ένα τοπικό μέγιστο για #φά# (και η πρώτη δοκιμή παραγώγων είναι αρκετά ισχυρή για να υποδηλώσει αυτό, παρόλο που η Δεύτερη Παράγωγος Δοκιμή δεν έδωσε καμία πληροφορία) και ο κρίσιμος αριθμός (σημείο) # x = 1 # δεν δίνουν ούτε τοπικό μέγιστο ούτε ελάχιστο για #φά#, αλλά ένα (μονοδιάστατο) "σημείο σέλας".

Ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς είναι 9 μεγαλύτεροι από τους μικρότερους. Το ποσό τους είναι 67. Πώς βρίσκεις τους αριθμούς;

Οι δύο αριθμοί είναι 38 και 29. Θα εξετάσουμε τους αριθμούς ως (x + 9) και x, αφού το μεγαλύτερο είναι 9 περισσότερο από το μικρότερο. Δεδομένου ότι το άθροισμα των αριθμών είναι 67, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση: (x + 9) + x = 67 Ανοίγοντας τους βραχίονες και απλουστεύοντας: x + 9 + x = 67 2x + 9 = 67 Αφαίρεση 9 από τις δύο πλευρές: 58 χ = 29 και (χ + 9) = 38

Ο δεύτερος από τους δύο αριθμούς είναι 3 μικρότεροι από το διπλάσιο του πρώτου. Το ποσό τους είναι 36. Πώς βρίσκεις τους αριθμούς;

Ο δεύτερος αριθμός θα είναι 23, ο πρώτος θα είναι 13. Χρησιμοποιώντας τις ενδείξεις που δίνονται, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι 2 εξισώσεις είναι αληθείς: Για αυτό θα υποθέσουμε ότι a = πρώτος αριθμός και b = δεύτερος αριθμός. b = 2a - 3 Ο δεύτερος αριθμός είναι 3 μικρότερος από 2 φορές ο πρώτος a + b = 36 Το άθροισμα των αριθμών είναι 36. Μπορούμε τότε να χειριστούμε οποιαδήποτε εξίσωση για να υποκαταστήσουμε σε μια μεταβλητή, δεδομένου ότι το b είναι ήδη ίσο με κάτι, θα το χρησιμοποιήσουμε ως υποκατάστατο. a + (2a-3) = 36 3a - 3 = 36 3a = 39 a = 13 Τώρα που έχουμε τον πρώτο αριθμό, μπορούμε να συνδέσουμε αυτή την τιμή γι

Πώς βρίσκετε τους κρίσιμους αριθμούς για το cos (x / (x ^ 2 + 1)) για να καθορίσετε το μέγιστο και το ελάχιστο;

Έτσι το κρίσιμο σημείο είναι x = 0 y = cos (x / (x + 1)) Σημείο κριτικής: Είναι το σημείο όπου το πρώτο παράγωγο είναι μηδέν ή δεν υπάρχει. Πρώτα βρείτε το παράγωγο, ορίστε το στο 0 να λυθεί για το x. Και πρέπει να ελέγξουμε ότι υπάρχει μια τιμή x που καθιστά το πρώτο παράγωγο undefined. dy / dx = -sin (χ / (χ + 1)). d / dx (x / (x + 1)) (κανόνας διαφοροποίησης της αλυσίδας χρήσης) dy / dx = -sin (x / +1) ^ 2) Χρησιμοποιήστε τον κανόνα της διαφοροποίησης προϊόντος. dy / dx = -sin (x / (x + 1)) ((1) / (x + 1) (X + 1)) = 0 sin (x / (χ + 1)) = 0 rArr χ / (χ + 1) = 0 rArr , x = 0 Έτσι το κρίσιμο σημείο είναι x = 0